Corso di Elementi di Struttura della Materia (a.a. 2004-2005)

docente: Luigi Sangaletti
tel. 030-2406744 (LAB)
e-mail sangalet@dmf.bs.unicatt.it

Programma del corso

Testi consigliati:
HW1990: H. Haken, H. Wolf, FISICA ATOMICA E QUANTISTICA, Bollati Boringhieri (Torino, 1990)
DG1995: D. J. Griffiths, INTRODUCTION TO QUANTUM MECHANICS, Prentice Hall (1995)

Testi di consultazione:
P. W. Atkins, R.S. Friedman, MECCANICA QUANTISTICA MOLECOLARE, Zanichelli, Bologna
B. H. Bransden, C. J. Joachain, PHYSICS OF ATOMS AND MOLECULES, Longman Scientific & Technical (New York, 1988)
J. C. Slater, TEORIA QUANTISTICA DELLA MATERIA, Zanichelli, Bologna

RISULTATI PROVA SCRITTA DEL 26 Luglio 2005

matr. 3309204 22/30
matr. 3105785 19/30

Materiale didattico

Prima lezione
Seconda lezione
Terza lezione
Quarta lezione
Quinta lezione
Sesta lezione
Settima e ottava lezione
Raggi X (ampliata)
Nona lezione
Nona lezione (complementi)
Decima lezione (Struttura iperfine)
Undicesima lezione (Molecole)

Esempi di temi d'esame (1, 2)

Calendario delle lezioni e argomenti svolti

21 Aprile (3 ore)

Introduzione al corso. Quantizzazione delle energie e funzione d'onda in meccanica quantistica.
Richiamo sulla equazione di Schroedinger per l'atomo di idrogeno.
Momento angolare orbitale e armoniche sferiche.
Analisi della parte radiale della funzione d'onda.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Discutere, in dipendenza dai numeri quantici, le diverse autofunzioni
dell'atomo di idrogeno con particolare riferimento alla densità di probabilità radiale e alla
forma delle armoniche sferiche.
Introdurre, con riferimento all'atomo di idrogeno, l'operatore momento angolare orbitale (in termini di L^2 ed L_z)
e discutere le sue autofunzioni e i suoi autovalori. Illustrare la relazione con le armoniche sferiche e i numeri quantici.

22 Aprile (3 ore)

Rimozione della degenerazione in l per gli elettroni esterni dei metalli alcalini.
I casi del litio e del sodio. Difetto quantico e numero quantico efficace. HW1990, cap.11

Trattazione semiclassica del momento di dipolo elettrico.
Irraggiamento di un dipolo elettrico e probabilità di transizione tra due livelli energetici. DG1995, par.9-1, par.9-2

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Valutare l'effetto della distribuzione della densità di probabilità radiale sul potenziale che agisce sull'elettrone ns (n=2, 3, 4, ...)
degli atomi dei metalli alcalini.

26 Aprile (2 ore)

Calcolo dell'elemento di matrice di dipolo elettrico. Regola d'oro di Fermi. DG1995, par.9.1, par.9.2
Regole di selezione e parità delle funzioni d'onda. Il caso delle armoniche sferiche. HW1990, par.16.1.3

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Impostare il calcolo dell'elemento di matrice di dipolo elettrico a partire dalla definizione di valor
medio di un operatore, definendo in modo opportuno la funzione d'onda per un sistema a due livelli.
E' possibile stabilire una relazione tra la "parita" delle funzioni d'onda e la regola di selezione per le transizioni
di dipolo elettrico?. Discutere il caso in relazione alle armoniche sferiche.

29 Aprile (3 ore)

Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo per livelli NON degeneri. DG1995, par.6.1.1, par.6.1.2
Risoluzione del problema al primo ordine.

Effetti di struttura fine. Spin dell'elettrone. HW1990, cap.12
Momento magnetico associato al momento angolare orbitale e di spin.
Interazione spin-orbita. Calcolo della energia di interazione spin-orbita.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Calcolare il termine di interazione spin-orbita in approssimazione semiclassica e mettere in
evidenza le espressioni del termine di correzione dell'energia che possono essere valutate quantisticamente.

4 Maggio (2 ore)

Struttura fine ed effetti relativistici.
Modello vettoriale dell'atomo. Precessione in campo magnetico. Momento angolare totale J.
Regole di selezione di dipolo elettrico per il numero quantico J.
Il momento angolare totale J. Calcolo del momento magnetico associato.
Il fattore di Landé.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Illustrare, con riferimento alla interazione spin-orbita, il modello vettoriale dell'atomo.
Discutere il caso della struttura fine per l'atomo di idrogeno nelle transizioni di dipolo
elettrico tra le "shell" n=4 e n=2.
Illustrare, attraverso il modello vettoriale dell'atomo, il calcolo del momento
magnetico associato al momento angolare totale J. Qual é il significato
del fattore di Landé?

6 Maggio (3 ore)

Atomi in campo magnetico debole. L'effetto Zeeman. HW1990, par. 13.1-13.4
Discussion dell'effetto Zeeman nei casi dell'atomo di idrogeno e di sodio.
Effetto Paschen-Bach

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Spiegare, attraverso il modello vettoriale, la differenza tra l'effetto
Zeeman e l'effetto Paschen-Bach.

11 Maggio (3 ore)

Effetto Zeeman normale: trattazione classica.
Regole di selezione e polarizzazione del campo elettromagnetico.
Momento angolare del fotone.
Esperimento di Stern-Gerlach.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Quale relazione c'è tra le regole di selezione per il numero quantico
magnetico e la polarizzazione della radiazione emessa nel
caso di effetto Zeeman normale?

13 Maggio (3 ore)

Hamiltoniana per un sistema di spin 1/2. Precessione in campo magnetico. HW1990, par. 14.2
Atomi a più elettroni. Atomo di Elio. Ortoelio e paraelio. Stati di singoletto HW1990, cap.17
e di tripletto. Repulsione elettrostatica tra elettroni ed energia dello stato
fondamentale.
Interpretazione dei dati spettroscopici dell'elio. Principio di Pauli.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
In base a quali dati spettroscopici è stato formulato il principio di Pauli?
Perchè non è possibile avere nell'elio uno stato di tripletto per lo
stato fondamentale?

16 Maggio (2 ore)

Stati eccitati dell'atomo di elio.
Accoppiamento LS. Determinazione dei livelli energetici dei diversi
stati elettronici dell'elio. Accoppiamento jj.
Passaggio dall'accoppiamento LS all'accoppiamento jj .
Teorema variazionale. Applicazione all'atomo di elio. DG1995, par.7.1-7.3

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Per quale motivo l'accoppiamento LS prevale negli elementi a basso Z
e quello jj negli elementi ad alto Z?

25 Maggio (1 ora)

Funzioni d'onda per un sistema a due elettroni. HW1990, par. 19.4
Fattorizzazione della funzione d'onda nella parte di spin e spaziale.
Antisimmetria e principio di esclusione di Pauli.
Stati di singoletto e di tripletto.

27 Maggio (3 ore)

Integrale coulombiano e di scambio in un sistema a due elettroni.
Tavola periodica e riempimento degli orbitali. HW1990, par. 19.1-19.3
Regole di Hund per il calcolo dello stato fondamentale di un
elemento nello schema di accoppiamento LS.
Elettroni equivalenti e principio di esclusione di Pauli.

30 Maggio (3 ore)

Spettri di raggi X. Generazione dei raggi X. HW1990, cap. 18
Spettro di Bremsstrahlung e radiazione caratteristica.
Legge di Moseley. Struttura fine degli spettri dei raggi X.
Interazione dei raggi X con la materia. Assorbimento dei raggi X.
Decadimento dei livelli atomici profondi. Emissione radiativa e non radiativa.
Elettroni Auger. Effetto fotoelettrico.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Tra quali livelli energetici si osserva l'emissione della riga k_alpha
in un atomo? (Si tenga conto del numero quantico orbitale e della struttura fine).

1 giugno (3 ore)

Sezione d'urto di diffusione Thomson.
Diffusione elastica da una coppia di centri.
Calcolo della differenza di fase delle onde diffuse.
Diffusione da un insieme di centri diffusori.
Legge di Bragg per la diffrazione. HW1990, par. 2.4.5
Fattore di diffusione atomico.

8 Giugno (2 ore)

Struttura iperfine. Spin nucleare I e momento magnetico m_I.
Definizione di g_I. Calcolo del momento angolare totale F=I+J
e del termine di interazione tra I e J. Significato di B_J.
Costante di struttura iperfine. Struttura iperfine
dell'atomo di idrogeno.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Quali sono il significato fisico e l'origine dei termini B_J e g_I ?
Come è possibile ricavare da misure della struttura iperfine informazioni
sulla proprietà del nucleo?

10 Giugno (3 ore)

Struttura elettronica delle molecole. La molecola di idrogeno ionizzata. Calcolo dei livelli
energetici 1ss a partire dalle funzioni d'onda dell'atomo di idrogeno.
Significato dell'integrale di sovrapposizione S e dei termini coulombiani C
e di scambio D. Orbitali leganti e antileganti e piani nodali.
Il metodo di Huckel. Applicazione al calcolo dei livelli energetici per
gli elettroni p della molecola di butadiene.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Illustrare il calcolo degli orbitali elettronici della molecola di H_2
a partire dal calcolo degli orbitali per l'elettrone della molecola
di H_2 ionizzata. Perchè la separazione energetica tra i livelli
leganti-antileganti varia con la distanza internucleare?
Quali sono le semplificazioni del metodo di Huckel rispetto
al calcolo LCAO per la molecola di idrogeno? Come
possono essere giustificate tali approssimazioni?
Si analizzi il caso della molecola di butadiene e il relativo
calcolo degli orbitali molecolari che "derivano" dai livelli atomici 2p del carbonio.
C'é un legame tra il numero dei nodi della funzione d'onda e gli autovalori dell'energia?
Si confronti il risultato con quello per un elettrone confinato in una buca di potenziale
a pareti infinite.

Esercizi proposti

1.    Esercizio Nr. 10.2 pag 191, Haken Wolf. Regole di selezione ed elemento di matrice
       di dipolo elettrico. Si determini una relazione tra i risultati al punto b)
       dell'esercizio proposto e la polarizzazione dei fotoni.
2.    Esercizio Nr. 11.1 pag 203, Haken Wolf. Difetto quantico nei metali alcalini.
3.    Valutare il termine L.S usando la definizione del momento angolare totale J=L+S
4.     Calcolare i valori di L.S per un elettrone 2p. Ripetere il calcolo nel casi di elettroni 3d e 4f.
5.     Nello spettro dell'atomo di idrogeno c'é una emissione intensa a 486.1 nm.
        (a) Fra quali stati (n,l) avviene tale transizione?
        (b) Tracciare un diagramma dei livelli, mostrando gli stati coinvolti nella transizione. Includere la
        struttura fine (con la sua stima) ed indicare i numeri quantici di ciascun livello.
6.    Determinare l' ampiezza della separazione tra i livelli energetici di un atomo in un campo magnetico B,
        se si assume che suddivisione dipenda solo dalla componente di m lungo J.
7.    Assumendo che l'interazione L.S sia molto più forte dell'interazione con il campo magnetico
        esterno, calcolare lo sdoppiamento Zeeman anomalo per gli stati 2S_1/2, 2P_1/2, 2P_3/2 dell'idrogeno
        in un campo magnetico di 0.05 Tesla.
8.    Con riferimento all'esercizio Nr.7, determinare le linee spettrali risultanti dalle transizioni
       2P_3/2->2S_1/2 e 2P1/2->2S1/2 per l'idrogeno in un campo di 0.05 Tesla. In assenza di campo magnetico queste
       transizioni danno luogo a righe spettrali di (1210-3.54x10^-3) Å e di (1210+1.77x10^-3) Å, rispettivamente.
9.    Trascurando l'interazione spin-orbita in un forte campo esterno di 5 Tesla, determinare le righe
       che risultano dalla transizione 2p->1s (lambda=1210 Å) nell'idrogeno.
10. Calcolare la componente massima del momento di dipolo magnetico del vanadio (stato fondamentale 4F),
       del manganese (s.f. 6S), e del ferro (s.f. 5D) sapendo che fasci di questi atomi vengono suddivisi rispettivamente
       in 4, 6, e 9 componenti da un magnete alla Stern-Gerlach.
11. Determinare la massima separazione di un fascio di atomi di idrogeno che percorre una distanza di 20 cm con una
      velocità di 2x10^5 m/s perpendicolarmente a un campo magnetico il cui gradiente è 2x10^2 T/m. Trascurare
      il momento magnetico del protone.
12. Valutare la possibilità di fare un'esperienza alla Stern-Gerlach con ioni invece che con atomi. A questo scopo si
      paragoni la forza di Lorentz con la forza agente sullo spin dell'elettrone per un atomo singolarmente ionizzato e con
      un momento magnetico uguale a 1 magnetone di Bohr. Si assuma che la velocità dello ione sia di 100 m/s, il campo
      esterno B=1 Tesla e il gradiente del campo 100 T/m.
13. Si calcoli la separazione spin-orbita V_l,s per un singolo elettrone p in termini della costante
      a = [Z e^2 m_0 (h/2p)^2] / [8p m^2 r^3]. (V_l,s = a/2 [j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)].
14. Esercizio Nr. 12.9, Haken Wolf. [Esercizio sulla struttura fine e sulle relative transizioni di dipolo
      elettrico in atomi a più elettroni].
15. Il bordo di assorbimento K del tungsteno è 0.178 Å e la lunghezza d'onda delle linee della serie K è:
      K_alpha=0.21 Å, K_beta=0.184 Å, K_gamma=0.179 Å.
      Costruire il diagramma dei livelli X del tungsteno;
      Calcolare l'energia minima richiesta per eccitare la serie L
      Calcolare la lunghezza d'onda della linea L_alpha.
16. Stimare la differenza di potenziale minima richiesta in un tubo a raggi X con un anodo di ferro
      (Z=26) per emettere una linea K_alpha. Stimare inoltre la lunghezza d'onda del fotone K_alpha..
17. La linea K_alpha del cobalto ha una lunghezza d'onda di 1.785 A. Calcolare la differenza di energia tra
      i livelli 1s e 2p del cobalto e paragonarla con la differenza di energia tra i livelli 1s e 2p dell'idrogeno.
18. Si calcoli per i seguenti stati elettronici l'insieme delle configurazioni possibili nello schema
      di accoppiamento LS e la relativa degenerazione: (a) 2p3p; (b) 2p^2, (c) 3d^10; (d) 3d^9, (e) 3d^2.
      Nel caso di elettroni equivalenti si tenga conto del principio di esclusione di Pauli.
19. Si tracci lo schema dei livelli di struttura iperfine per un sistema con J=3/2, I=3/2. Si esprima,
      in funzione della costante di struttura iperfine "a" l'energia di ciascun livello e si calcoli la
      separazione tra i livelli energetici. Si dimostri che per un generico sistema la separazione iperfine
      DE(F+1,F) tra due livelli energetici adiacenti è pari a DE(F+1,F) = a(F+1)
20. Si determini la lunghezza d'onda alla quale il picco di Bragg al primo ordine dalla
     calcite (d = 3 Å) viene a registrato a q=20°. Qual è l'angolo di incidenza relativo al
     riflesso al primo ordine ottenuto con la riga k_alpha del molibdeno?
     Quale variazione Dq sull'angolo di Bragg si determina quando la distanza interplanare d
     varia di Dd?
21. Calcolare la lunghezza d'onda di de Broglie per una particella di massa m
     nel limite relativistico. Si discutano i casi in cui la particella
     è un elettrone da 60 keV, un neutrone termico (KE=0.025 eV) o un elettrone
     da 150 eV.
22. Un sottile fascio di elettroni da 60 keV attraversa una lamina policristallina di
     argento. La distanza interatomica è 4.08 Å. Calcolare il raggio della figura di
     diffrazione del primo ordine generata dai piani di Bragg principali su uno schermo
     collocato 40 cm dietro la lamina.
23. Un grosso cristallo viene impiegato per estrarre neutroni dotati di una certa energia
     da un fascio di neutroni uscente da un reattore. La distanza fra i piani di Bragg
     del cristallo è 1.1 A. Se l'angolo di bragg è fissato a 30°, qual è l'energia dei neutroni
     visti secondo questo angolo per una riflessione del primo ordine?
24. Tracciare lo schema dei livelli energetici per l'atomo di litio per n=2, 3, 4 e
     indicare sul diagramma le transizioni di dipolo elettrico permesse.
     Tracciare a fianco di tale diagramma, quello relativo ai livelli dell'atomo di idrogeno.
     Spiegare per quale motivo, a parità di numero quantico n, le energie degli
     orbitali s,p,d,f,.. sono diverse tra loro. Tracciare infine sul diagramma i livelli di
     struttura fine
25. In Figura 1 sono mostrati i livelli energetici dello stato fondamentale e dei primi
     quattro stati eccitati dell'elio. Indicare sulla figura la notazione spettroscopica di
     ciascun livello e le transizioni di dipolo elettrico permesse.

26. Tracciare e discutere il diagramma dei livelli energetici dell'idrogeno
     per n=1 ed n=2 mettendo in evidenza la struttura fine, il "Lamb shift"
     e la struttura iperfine.
27. Identificare lo stato fondamentale di un atomo di magnesio (Z=12).
      Si considerino le seguenti coppie di livelli energetici:
      (a) (3s3p)1P1 ->(3s3s)1S0
      (b) (3s4p)3P1 ->(3s4s)3S1
      Per ciascuna coppia di livelli determinare la transizioni di dipolo elettrico permesse
      quando l'atomo di Mg è soggetto ad un debole campo magnetico.

Esercizi supplementari

Sulla struttura fine degli spettri atomici: Haken Wolf 12.5, 12.6, 12.7, 12.8.
Sull'esperimento di Stern-Gerlach: Haken Wolf 12.2.

Links

Database di spettroscopia atomica
http://physics.nist.gov/PhysRefData/contents-atomic.html

Materiale di riferimento sui raggi X (sorgenti, rivelatori, spettroscopia)
http://www-cxro.lbl.gov/optical_constants/web.html
http://xdb.lbl.gov/

Sito commerciale con informazioni sulle proprietà
dei diversi elementi della tavola periodica e dei loro composti.
http://www.webelements.com/

Diffrazione e cristallografia
http://www.ccp14.ac.uk/database.htm

Materiali: struttura e proprietà
http://www.ill.fr/dif/3D-crystals/index.html

Dal silicio al computer. Lezioni elementari di struttura atomica e fisica
dei solidi e dei dispositivi
http://maccw.sns.it/dsac/