Un sistema isolato, costituito da un grande numero di particelle N = 10 23 <\sup>) debolmente interagenti fra loro, costituisce oggetto di studio da parte della meccanica statistica. Ad esempio, la distribuzione delle energie di particella singola può essere descritta da una distribuzione di Bose--Einstein o Fermi--Dirac a seconda che la funzione d'onda che descrive il sistema sia completamente simmetrica o antisimmetrica rispetto allo scambio di due particelle. E tutto ciò risulta storia ben nota.

Affinchè le leggi della meccanica statistica siano valide, è essenziale che N tenda all'infinito tutte le quantità di un certo interesse sono definite a meno di termini O(1/N)); inoltre la descrizione di particella singola risulta avere senso compiuto solo se l'interazione tra le particelle non influenza in modo significativo la distribuzione dei livelli imperturbati di energia. Almeno nel caso classico, l'esplorazione dell'intero spazio delle fasi da parte di un generico ensemble , è garantito dall'ipotesi ergodica. Tuttavia, occorre osservare che i concetti di caos ed ergodicità erano, al tempo di tale formulazione, privi del profondo significato che viene oggi loro attribuito. In particolare, non era ancora stato formulato il teorema KAM, che indica la possibilità della presenza di una soglia critica per il parametro di interazione, sotto la quale il moto avviene lungo opportune superfici invarianti, risultando cosìben lungi dall'essere caotico.

Se si esclude dunque la diffusione di Arnol'd, presente in sistemi con N>2, occorrerà, al fine di ottenere una esplorazione ergodica dell'intero spazio delle fasi, superare tale valore critico per il parametro di interazione interparticellare.

Risulta idea comune, ma a nostra conoscenza priva di motivata analisi, che tale parametro critico debba diminuire al crescere del numero di particelle, in modo tale da poter considerare una interazione arbitrariamente piccola nel limite termodinamico.

Nonostante ciò, i meccanismi di esplorazione dello spazio delle fasi richiedono l'introduzione di opportune scale temporali. Ad esempio, l'inverso dell'esponente di Lyapunov o il tempo ergodico (necessario per raggiungere una distribuzione di equilibrio), dovranno giocare un loro ruolo nella complessa analisi statistica.

Se il quadro classico appare per lo più chiaro, lo stesso non si può affermare per quello quantistico dove, e la presenza del caos , e il conseguente fenomeno della localizzazione dinamica aprono, a tutti gli effetti, le porte a nuovi, possibili e sorprendenti scenari. In particolare risulta del tutto ignoto il legame tra la localizzazione dinamica , l'interazione e il numero di particelle.

Il sistema modello che abbiamo preso in esame è costituito da due spin interagenti. La versione classica risulta, per opportuni valori dell'interazione e dell'energia, caotica. Nella base completamente simmetrica dei due spin non interagenti, l'Hamiltoniana totale è rappresentata da una opportuna matrice simmetrica che contiene tutte le possibili informazioni sul sistema. In particolare, abbiamo studiato la distribuzione delle energie di particella singola. Un primo risultato, anche se sotto certi aspetti scontato, ha permesso di identificare come statisticamente stabili, solo quelle distribuzioni relative ad autofunzioni in intervalli di energia per cui il corrispettivo moto classico risulti caotico. Inoltre, un confronto diretto tra la ``temperatura'' di un autostato ottenuta numericamente dalla distribuzione delle energie di particella singola, con quella ricavata canonicamente o microcanonicamente (adottando le definizioni) ha rivelato una sostanziale differenza tra le due. Se a prima vista ciò può apparire scontato (visto l'esiguo numero di particelle non c'e' ragione alcuna di ritenere valide le leggi della meccanica statistica), non lo è più alla luce del fatto che tali temperature risultano tra loro confrontabili qualora si sostituisca, agli elementi di matrice dell'interazione , opportuni elementi scelti all'interno di una opportuna distribuzione casuale. Ovvero, se tutte le correlazioni classiche sono ignorate (per motivi tecnici il solo limite classico è stato investigato) e l'autostato risulta caotico, la sua ``temperatura'' risulta essere convenientemente descritta dall'insieme canonico (o microcanonico). E ciò accade, nonostante il modello sia costituito da due sole particelle!

L'indagine futura riguarda l'inserimento di ulteriori particelle. Le domande, a cui vogliamo trovare una risposta sono le seguenti: può, e in che modo, l'aumento del numero di particelle, svolgere il ruolo dell'interazione tra le particelle? Quando e in che modo la descrizione canonica (o microcanonica) risulta adeguata?

Bibliografia:

1. F.Borgonovi, I.Guarneri, F.M.Izrailev, "Quantum-Classical Correspondence in Energy Space: Two Interacting Spin-Particles" Phys. Rev. E 57, 5291, (1998).
2. F.Borgonovi, I.Guarneri, F.M.Izrailev, G.Casati, " Chaos and Thermalization in a dynamical model of two interacting particles " Phys. Lett. A 247, 140 (1998)
3. F.Borgonovi and F.M.Izrailev : "Classical statistical mechanics of a few body interacting spin model", Phys. Rev. E, 62, 6475 2000.
4. F.Borgonovi, G.Celardo, F.M.Izrailev and G.Casati "A semiquantal approach to finite systems of interacting particles" Phys. Rev. Lett. 88, 54101 (2002).