Il Modello di Frenkel--Kontorova è costituito da una catena lineare di oscillatori armonici soggetto ad un potenziale esterno il cui periodo è incommensurato al primo. L'interesse nella configurazione di equilibrio di tale modello classico fu attivato da Aubry e G. André in un celebre lavoro che aprìla strada ad una lunga serie di articoli ( Proc.Israel Phys.Soc. 3 (1980), 133). Identificando le posizioni di equilibrio degli ioni lungo la catena con le traiettorie di un opportuno sistema dinamico (il ruolo del tempo viene ad essere giocato dalla posizione $n$-esima dello ione lungo la catena) Aubry e collaboratori furono in grado di fornire un quadro di stretto parallelismo fra il sistema di oscillatori (esistenza o meno di un gap fononico) e il sistema dinamico, già precedentemente (e lungamente) studiato: la transizione al Caos Globale o, in gergo pi\'u tecnico, la rottura dell'ultima superficie KAM che accerchia il cilindro. Con questo termine si suole indicare una situazione in cui, per effetto della nonlinearità, un processo diffusivo classico, stimolato dal Caos , avviene nello spazio delle fasi per valori arbitrariamente grandi della variabile di azione. Il sistema dinamico in questione è la Standard Map che descrive un rotatore soggetto ad una opportuna azione periodica nel tempo. Questo semplice sistema, classicamente caotico e diffusivo, se quantizzato presenta un particolare fenomeno, noto con il nome di localizzazione dinamica . In breve, l'evoluzione temporale quantistica di un generico ensemble non avviene indefinitamente, come nel corrispondente sistema classico, ma dopo un certo tempo il sistema non assorbe piu' energia. E' chiaro allora che lo studio del modello quantistico di Frenkel--Kontorova assume importanza di rilievo.
Fra i risultati più significativi ottenuti risulta senza dubbio degno di menzione lo studio delle posizioni quantistiche medie degli oscillatori nello stato fondamentale. Esse vengono cioè ad essere parametrizzate, modulo il periodo del passo reticolare, da una funzione a dente di sega, ben diversa da quella classica, continua e differenziabile nel caso sottocritico integrabile, o somma infinita di funzioni a gradino in quello caotico sopracritico. Una tale modificazione dello stato quantistico, da imputarsi a fenomeni di interferenza tra oscillatori non vicini sulla catena porta a congetturare una transizione di fase quantistica essenzialmente diversa da quella classica.
Questi risultati sono stati poi confermati nel decennio successivo alla loro pubblicazione da diversi gruppi di ricercatori, utilizzando differenti approcci; si veda ad esempio (G.Berman, E.Bulgakov, D.K.Campbell "Coherent Structures in the ground state of the quantum Frenkel-Kontorova model", Phys. Rev. B 49 , 8212, (1994), B. Hu, B. Li, and W.-M. Zhang, Phys. Rev E, 58 ,R4068 (1998))
Bibliografia: