PROGRAMMA D'ESAME

I numeri di riferimento sono quelli di paragrafi o capitoli del testo "Analisi Matematica" di M. Bertsch. Dove non specificato, i teoremi si intendono con dimostrazione.


Relazioni, relazioni di equivalenza e insieme quoziente, relazioni d'ordine (parziale e totale), maggiorante e minorante, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore, minoranti.(vedi Appunti argomenti introduttivi)

Funzioni. Funzioni iniettive e suriettive, funzioni invertibili.(vedi Appunti argomenti introduttivi)

Costruzione dei numeri interi e razionali. Proprieta' di campo ordinato dei razionali. Radice quadrata di 2 non sta in Q (dimostrazione). Costruzione dei numeri reali (con le sezioni di Dedekind). Proprieta' di campo ordinato e completo di R, densita' di Q in R, R e' archimedeo (tutto senza dimostrazione), enunciato del teorema dell'essenziale unicita' di R come campo ordinato completo. (vedi Appunti argomenti introduttivi) Costruzione dei numeri complessi; C e' un campo non ordinato algebricamente chiuso, forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Formula per la moltiplicazione di due numeri complessi in forma trigonometrica.(Cap. 12)

Elementi di topologia: distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione e punti isolati. (Par. 1.5)

Succesioni: definizione, limite di una successione, teorema di unicita' del limite. Succesioni divergenti, succesioni limitate. Operazioni con i limiti, forme indeterminate. Succesioni monotone, le succesioni monotone sono convergenti, teorema del confronto, alcuni limiti elementari, definizione del numero e. (Cap.6, par. 6.2,6.3,6.4,6.6)

Funzioni reali di variabile reale: dominio, limitatezza, sup e inf, massimi e minimi assoluti e relativi, funzioni monotone, funzioni pari e dispari. Definizione di limite di una funzione in un punto di accumulazione del dominio: vari casi. Teorema di unicita' del limite. Limite destro e limite sinistro. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone. Limiti notevoli. (Cap.7, par. 7.1,7.2)

Definizione di funzione continua, funzione continua a destra e a sinistra. Somme, differenze, prodotti e quozienti di funzioni continue. Proprieta' fondamentali delle funzioni continue: composizione di funzioni continue (dimostrazione); teorema della permanenza del segno; teorema degli zeri; teorema "dei valori intermedi"; teorema di Weierstrass sull'esistenza di massimo e minimo(senza dimostrazione). Continuita' delle inverse delle funzioni continue. ; Funzioni continue elementari: funzioni polinomiali, funzioni razionali fratte, funzioni algebriche, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche, funzioni trigonometriche. Punti di discontinuita' di una funzione: discontinuita' di prima e seconda specie, discontinuita' eliminabile. Limite per x che tende a 0 di sen(1/x) (dimostrazione) (Cap. 7, par. 7.4,7.5,7.6,7.7,7.8)

Derivate: definizione, esempio di velocita' media e velocita' istantanea, significato geometrico della derivata. Operazioni con le derivate: somma, prodotto e quoziente. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni elmentari: logaritmo, esponenziale, potenze e radici, sen, cos, tang, senh, cosh, arcsen, arccos, acrtg. (Cap. 9, par.9.1,9.5,9.6,9.7)

Teoremi sulle derivate: teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema del valor medio (Lagrange), teorema di Cauchy, teorema sulle funzioni monotone e il segno della derivata, teorema di de L'Hopital. Derivate di ordine superiore.(Cap.9,par. 9.2. Cap.10, par. 10.1, 10.2)

Studio del grafico di una funzione: dominio; parita', disparita', periodicita'; limiti agli estremi del dominio, asintoti; segno e intersezioni con gli assi; segno della derivata prima: massmi e minimi; segno della derivata seconda: convessita', concavita', flessi, punti angolosi e cuspidi.. (Cap. 10, par. 10.3, 10.4)

Risoluzione numerica di una equazione: metodo di bisezione, metodo di Raphson-Newton.(Cap. 10, par.10.5)

Integrazione secondo Riemann: definizione di funzione integabrile, teorema sull'integrabilita' delle funzioni limitate (senza dimostrazione), proprieta' elementari dell'integrale definito. Primitiva di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali elementari. Integrazione per sostituzione, integrazione per parti, integrazione delle funzioni razionali fratte. Teorema fondamentale dell'integrale definito. (Cap. 9, par. 9.3,9.4. Cap. 11, par. 11.1,11.2,11.3,11.4,11.5)

Applicazioni geometriche dell'integrale definito: calcolo di aree, calcolo di aree in coordinate polari, lunghezza del grafico di una funzione, calcolo del volume dei solidi di rotazione. (Cap. 11, par. 11.9.11.10)

Integrali impropri: definizioni. caso di funzione non limitata su un intervallo limitato, caso di intervallo illimitato. Convergenza e divergenza. Esempio: integrale improprio di x^-a. Teorema del confronto. (Cap 11, par. 11.8)

Serie numeriche: definizione, ridotte e resto ennesimo, serie convergenti, divergenti, indeterminate. Serie geometrica. Proprieta' generali. Serie a termini non negativi: una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza, teorema del confronto, teorema del criterio integrale. Serie armonica. Criterio del rapporto, criterio della radice (senza dimostrazione). Convergenza assoluta e convergenza semplice. Critrerio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno. Metodi di approssimazione della somma di una serie numerica. (Cap. 14, par. 14.1, 14.2,14.3,14.4)

Successioni e serie di funzioni: definizione, convergenza puntuale, funzione limite e funzione somma. Serie di potenze, raggio di convergenza, determinazione del raggio di convergenza, proprieta' della somma di una serie di potenze e formula di Maclaurin (tutto senza dimostrazione). (Cap.14, par. 14.5,14.6)

Approssimazione di funzioni con polinomi: formula di Taylor con resto di Peano e resto di Lagrange, serie di Taylor. Calcolo di limiti con la formula di Taylor.(Cap.10, par.10.7,10.8,10.9)