I punti che appartengono all'insieme di Mandelbrot sono quelli colorati di nero. I colori della parte esterna dipendono dal numero di passi che la successione ha impiegato per uscire dal cerchio di centro l'origine e raggio 2, e quindi per essere certi che fosse illimitata.

Per indagare le proprietà dell'insieme di Mandelbrot sono necessari strumenti matematici piuttosto sofisticati; alcune sue proprietà sono tuttora oggetto di ricerca. Ad esempio, è stato dimostrato solo pochi anni fa (1994) dal matematico giapponese Mitsuhiro Shishikura che il bordo dell'insieme di Mandelbrot ha dimensione di Hausdorff 2 (quindi è una curva piuttosto “spessa”, per quanto abbiamo visto prima). Non è ancora chiaro, invece, se l'insieme di Mandelbrot sia connesso, ovvero se presi due punti qualsiasi dell'insieme di Mandelbrot esista una curva continua, tutta contenuta nell'insieme, che li congiunge. L'insieme di Mandelbrot è incredibilmente ricco di dettagli: al suo interno si possono ritrovare delle copie “quasi” uguali di se stesso, quindi in un certo senso presenta le caratteristiche dell'autosimilarità, come si vede in questa figura (ottenuta ingrandendo circa 5000 volte una certa zona dell'insieme di partenza).

Esistono però altre zone in cui l'insieme si ramifica in modo molto sottile, e questi rami a loro volta si ramificano, dando luogo a quella che, ormai anche simbolicamente, è definita come la struttura frattale. Ne vediamo un esempio nella figura seguente, che rappresenta un altro particolare fortemente ingrandito dell'insieme di Mandelbrot.

Passiamo ora ad analizzare l'ultimo esempio tra quelli citati, ovvero l'attrattore di Lorenz. Esso è legato al sistema di Lorenz, un sistema di equazioni differenziali che rappresenta il prototipo del “caos deterministico” o dell'effetto “farfalla”. Vale la pena di raccontare brevemente la storia dell'attrattore di Lorenz e di spiegare in dettaglio i termini citati sopra. Prima però devo accennare brevemente al concetto di equazione differenziale: un'equazione differenziale mette in relazione in qualche modo una funzione e la sua derivata: risolvere l'equazione significa trovare una funzione (e non semplicemente un numero) che soddisfa tale relazione. Esempio semplice: ci si può chiedere quale funzione soddisfi la proprietà di avere la derivata uguale al doppio di sé stessa; in termini matematici bisogna risolvere l'equazione differenziale f'(x)=2f(x), dove l'incognita è la funzione f(x) e l'apice denota la derivata. In questo caso si può verificare che la funzione è una soluzione di questa equazione.³ Comunque, per capire quanto segue, non c'è bisogno per forza di saper risolvere un'equazione differenziale, ma bisogna aver chiaro che cosa significa che una funzione risolve l'equazione. Ovviamente, la soluzione di un sistema di equazioni differenziali è costituita da un gruppo di funzioni che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni differenziali del sistema.

Il sistema di Lorenz è il seguente sistema di tre equazioni differenziali ordinarie del primo ordine non lineari: , dove si intende che x,y,z sono delle funzioni reali del tempo t e x',y',z' le loro derivate prime. Tale sistema è stato introdotto nello studio del movimento di masse d'aria calda all'interno dell'atmosfera. Edward Lorenz, matematico e meteorologo statunitense, negli anni sessanta per poter affrontare un certo problema legato alle previsioni meteorologiche attuò una serie di semplificazioni, anche piuttosto drastiche, e si ricondusse allo studio di queste tre equazioni differenziali. Nonostante la notevole riduzione della difficoltà del problema, il sistema di Lorenz risultò particolarmente ostico da affrontare, ed anche le simulazioni numeriche, che a quell'epoca cominciavano a diventare piuttosto potenti, mostrarono un comportamento sorprendente.

Per cominciare, è meglio “allontanare” la fisica dal nostro problema e considerare il sistema di Lorenz dal punto di vista puramente matematico. Quindi possiamo dimenticare il significato originario delle funzioni x,y,z (significato che è legato all'evolversi nel tempo di quantità come la temperatura e la densità dell'aria) e pensare che siano le coordinate di un punto nello spazio. La soluzione del sistema può essere quindi visualizzata, almeno in linea di principio, come una curva nello spazio percorsa da un punto, ovvero una traiettoria. Inoltre, per semplificare ulteriormente il problema, ci si accontenta di trovarne non la soluzione esplicita, bensì il comportamento per tempi lunghi (comportamento asintotico). Questo vuol dire studiare l'attrattore del sistema: cercare che cosa diventa la traiettoria del punto quando il tempo trascorso diventa sempre più lungo. L'idea di base è che il comportamento della traiettoria in tempi brevi è molto influenzato da fenomeni esterni al sistema, come il punto di partenza, mentre ciò che è veramente intrinseco al sistema è quello che succede per tempi lunghi.

Le maggiori difficoltà sono legate al coefficiente r=28 che moltiplica la funzione x nella seconda equazione: infatti, per altri valori di questo coefficiente (valori più piccoli, diciamo compresi tra 1 e 20) è evidente, anche mediante una simulazione numerica, che le traiettorie del sistema vanno a schiacciarsi verso un punto particolare, indipendentemente dalla posizione di partenza;⁴ per valori più alti di r, al contrario, la traiettoria sembra “vagare” nello spazio senza una meta apparente. Soprattutto, per valori di r vicino a 28 è sufficiente variare di pochissimo la posizione di partenza del punto per avere delle traiettorie alquanto diverse, sebbene si trovino tutte in una zona ben precisa dello spazio. Questo significa che due punti che si trovano molto vicini in partenza e si muovono seguendo la legge del sistema di Lorenz, dopo un po' di tempo potrebbero trovarsi molto lontani, per poi magari “sfiorarsi” di nuovo dopo un po' e riallontanarsi ancora. Riprendendo il significato fisico del sistema, di cui prima ci eravamo volutamente liberati, da condizioni meteorologiche simili (temperature, densità dell'aria, velocità del vento simili) possono evolvere, seguendo il sistema di Lorenz, situazioni molto differenti nel giro di poco tempo. Si parla in questo caso di dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, o anche di caos deterministico. È a questo tipo di situazioni che ci si riferisce quando si parla di effetto-farfalla: è sufficiente il battito d'ali di una farfalla per modificare le condizioni atmosferiche iniziali e dunque provocare un uragano a migliaia di chilometri di distanza (o, perché no, per annullarne uno che altrimenti si sarebbe formato).

Ma che cosa c'entrano i frattali con tutto questo discorso? Cerchiamo di capire più in dettaglio come è fatta la traiettoria di un punto quando si sceglie proprio 28 (o un numero più grande⁵) come valore per il parametro r. Provando a fare delle simulazioni al calcolatore risulta che, indipendentemente dalla posizione iniziale, le traiettorie hanno un andamento simile a quello mostrato in questo disegno:

Si noti come tale disegno può ricordare una farfalla! Si deve pensare che questo disegno rappresenta una traiettoria tridimensionale, quindi va pensato come visto in prospettiva. Seguendo con pazienza, per quanto possibile, l'evolversi della traiettoria si vede che il punto “si avvolge” per un po' di tempo attorno a uno dei due centri, per poi spostarsi improvvisamente ed avvolgersi attorno all'altro, quindi ritornare indietro per un po' e così via. Tale traiettoria non si interseca mai con se stessa (questo violerebbe il teorema di unicità della soluzione fissate le condizioni iniziali). Il disegno precedente rappresenta quindi l'attrattore del sistema di Lorenz, poiché tutte le traiettorie si avvicinano indefinitamente a questo insieme, a patto di lasciare scorrere un tempo sufficiente. L'attrattore di Lorenz è un frattale: in realtà è molto più “pieno” di quanto il disegno non lasci trasparire; la sua dimensione di Hausdorff è stimata essere di poco superiore a 2 (per la precisione 2,06), quindi appena superiore a quella di una superficie usuale. Quando un sistema ammette un attrattore che ha una dimensione frazionaria, si parla di attrattore strano. Il fatto che un sistema di equazioni differenziali presenti il fenomeno del caos deterministico, ovvero che punti di partenza arbitrariamente vicini evolvano verso posizioni molto distanti, va a braccetto col fatto che ammetta un attrattore strano; i due fenomeni sono strettamente legati. Di nuovo, vediamo che da una struttura apparentemente semplice scaturisce un frattale e, come sempre quando si è in presenza di queste figure, le cose sono sempre più complicate di quello che sembravano a prima vista.

Insomma, per dirla con un acrostico, i Frattali Resistono A Tante Teorie, A Lampi Ingegnosi; anche in questo sta il loro fascino misterioso ed ammaliante. La matematica però è uno strumento potentissimo che ci permette non solo di conoscere l'esistenza di queste figure, ma anche di indagarle a fondo e svelarne la bellezza.