Contare...

L'atto del contare consiste nel costruire una corrispondenza biunivoca (ad esempio con le dita delle mani, o con un sottoinsieme dei numeri naturali):

Se esiste una corrispondenza biunivoca tra due insiemi (finiti) è ovvio che questi hanno lo stesso numero di elementi (sono equipotenti).

Questo è il meccanismo scelto da Cantor per trattare gli insiemi infiniti: due insiemi (infiniti) hanno lo stesso numero di elementi (la stessa cardinalità) se si riesce a trovare una corrispondenza biunivoca tra di essi.

L'albergo infinito di Hilbert

L'insieme dei numeri naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri pari... ma anche degli insiemi:

dei numeri interi: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
dei numeri razionali: { 1/2, 1/3, 2/5, -5/7, ... }
dei numeri algebrici: { radice di 2, ... }

Quanti infiniti?

... ma allora tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità?

NO

Infatti X non può avere la stessa cardinalità di P(X) = 2^X: abbiamo visto che non può esistere una funzione suriettiva (e quindi nemmeno una corrispondenza biunivoca) tra i due insiemi.

In effetti si stabilisce che X ha meno elementi di 2^X.

Ci sono quindi molti infiniti diversi: X, P(X), P(P(X)), ...; Cantor ha quindi pensato di introdurre la notazione per indicare la cardinalità del più piccolo insieme infinito: i numeri naturali N.

I numeri reali

hanno cardinalità c =

Prendiamo i numeri reali compresi tra 0 e 1; li possiamo scrivere in notazione posizionale (0,47687632...), ma usando la base 2 anziché la base 10, ad esempio 1/3 = 0,01010101...

Ora possiamo associare un sottoinsieme dei numeri naturali alla sequenza di cifre dopo la virgola: se c'è un 1 il numero naturale che corrisponde alla posizione nella sequenza appartiene all'insieme, altrimenti non vi appartiene.
Ad esempio, 1/3 ha gli 1 nelle posizioni pari, quindi corrisponde all'insieme dei numeri pari; viceversa ad ogni sottoinsieme dei numeri naturali facciamo corrispondere una sequenza di 0 e di 1 e quindi un numero reale tra 0 e 1.

Abbiamo trovato una corrispondenza biunivoca (quasi biunivoca, in realtà c'è un inghippo tecnico facilmente superabile) tra [0,1] e P(N)

Poi si dimostra che la cardinalità dell'intervallo [0,1] è la stessa di quella di tutti i numeri reali.

... che è la stessa dei punti del piano (!) e dei punti dello spazio (!!).