Superfici minime: alcuni disegni


In questo documento sono raccolte alcune figure che rappresentano superfici minime. Il programma per il calcolo della superficie minima è surf (manu-fatto). La rappresentazione tridimensionale della superficie è stata ottenuta mediante il programma povray. Ogni immagine è disponibile in una versione ad alta risoluzione.

Introduzione

Quando si parla di superfici minime si intende superfici che minimizzano la propria area. Un problema classico è il seguente (problema di Plateau): data una curva chiusa, qual è la superficie di area minima che ha tale curva come bordo?

Il bello delle superfici minime, è che hanno un riscontro reale. Se uno costruisce un telaio di fil di ferro e lo immerge in acqua e sapone, sul telaio si formerà una pellicola. La superficie formata dalla pellicola è proprio una superficie minima che risolve il problema di Plateau.

Ora non voglio entrare nei dettagli, ma presentare subito una carrellata di superfici minime.

Superfici minime con diversa omologia

Quando si cerca il minimo dell'area tra le superfici con un certo bordo, si può scegliere una certa classe di superfici tra le quali cercare il minimo. Ad esempio dando delle condizioni sull'omologia della superficie, è possibile far sì che la superficie minima sia connessa o orientabile o regolare... Queste superfici, minime in una certa classe, sono comunque dei minimi locali per l'area, e sono quindi realizzabili come pellicole di sapone.

Se ad esempio prendiamo come bordo due circonferenze, possiamo avere due diversi minimi locali uno sconnesso e uno connesso: i due dischi oppure la catenoide.


Se prendiamo la seguente curva chiusa:
possiamo ottenere come minimo locale per l'area sia una superficie non orientabile (il nasto di Möbius) che una superficie orientabile. Entrambe queste superfici sono regolari in tutti i punti.


Un primo esempio di superficie minima non regolare si ha prendendo il seguente bordo:
La superficie di area minima in assoluto è una superficie con una circonferenza di punti singolari (in tali punti si incontrano tre superfici con un angolo di 120 gradi):
ma otteniamo dei minimi relativi richiedendo che la superficie sia regolare (ma non orientata): oppure orientabile:



Il seguente esempio mostra come si possano addirittura trovare superfici minime di genere infinito. Il bordo di questa superficie è ancora una curva chiusa continua.

Superfici in forma parametrica

Per esprimere matematicamente il problema di Plateau, è necessario dare una definizione rigorosa di superficie. Una possibilità è definire una superficie come l'immagine di una funzione continua da un certo dominio bidimensionale fissato nello spazio tridimensionale (superficie in forma parametrica).

Ad esempio questa superficie minima (elica cilindrica) può essere parametrizzata su un dominio di tipo disco.

Notiamo però che il dominio scelto determina a priori il genere della superficie, nel senso che scegliendo domini diversi si otterranno minimi diversi.

Ad esempio queste due superfici hanno lo stesso bordo. La superficie di sinistra è la superficie di area minima tra tutte le superfici date in forma parametrica con dominio di base un disco. Mentre a destra si trova la superficie minima che si realizza in pratica come pellicola di sapone. Si nota inoltre che la funzione che descrive la superficie in forma parametrica non è iniettiva (c'è un'autointersezione) mentre la "vera" superficie minima è del tutto regolare.

Esempi curiosi

È possibile cercare superfici minime che abbiano come bordo delle curve anche non regolari. Questa ad esempio è la superficie che si ottiene prendendo come curva di bordo gli spigoli di un cubo. La superficie così ottenuta è interessante anche perché presenta entrambi i tipi di singolarità possibili per le superfici minime (stiamo parlando qui di superfici di dimensione 2 in uno spazio di dimensione 3). Ci sono infatti dei punti (disposti lungo 12 "segmenti") della superficie in cui si incontrano tre superfici con un angolo di 120 gradi e ci sono poi i quattro vertici del "quadrato" centrale in cui si incontrano 4 superfici con un angolo di circa 108 gradi.

Quest'altro esempio è una superficie che si retrae sul proprio bordo.
È possibile (sebbene non sia per niente intuitivo) deformare questa superficie lasciando fisso il bordo fino a farla coincidere col proprio bordo. Questo può far pensare che questa superficie in qualche senso non sia un minimo assoluto per l'area, in quanto si deforma in una superficie di area zero.



Quest'altra superficie è frutto più che altro di una curiosità. Sapendo che data comunque una curva chiusa è possibile trovare una superficie di area minima con bordo la curva data, ci si chiede come può essere fatta una superficie che ha come bordo una curva che si annoda. In questo esempio viene mostrata la superficie minima che ha come bordo il nodo trifoglio, che è il più semplice nodo non banale.


Come ultimo esempio vediamo come non sia ovvio capire quale sia la superficie minima con un certo bordo. Se ad esempio si prende come bordo l'unione di tre circonferenze disgiunte, la superficie minima è quella che si può vedere in figura. Questa è una superficie "omeomorfa" ad un disco con due buchi ed un manico.


9 luglio 2003: aggiunta l'elica cilindrica e altre piccole revisioni.
8 marzo 2003: revisione completa, creazione delle immagini mediante POVRAY.
7 aprile 2003: aggiunto il link al codice sorgente.

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Ultima modifica: 09 07 2003