From paolini Thu Jan 23 10:17:47 1997
To: ngbellia@flashnet.it
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Egregio Sig. Bellia,

ecco alcune precisazioni:


> Per quanto riguarda l'altro aspetto della sua propensione per
> Newton Fourier potrò capire quando avrò lo schema concettuale
> che mi permetta di valutare la complessità del Programma ricavabile
> dall'algoritmo di Newton Fourier da Lei così brillantemente
> descrittomi.

In realta' non riesco a capire cosa lei intenda con "schema concettuale", 
lei, nella successiva mail, afferma che le e' perfettamente
chiara l'equivalenza tra l'iterata k di Newton e la somma delle traslazioni 
del suo metodo, e mi scuso per la dimostrazione che segue, che io ho
incluso solo per arrivare a capire con chiarezza su quali punti concordiamo
e su quali punti NON concordiamo.

Lo schema di Newton non va oltre a quanto ho detto nella prima parte, cioe'
non precisa come poi verranno calcolate le altre radici del polinomio.
Il cosiddetto "metodo di deflazione" e' quello che piu' somiglia al suo e,
come lei ha gia osservato in altre mail, consiste nell'effettuare la
divisione del polinomio per (x - x_*) dove con x_* si indica la radice
appena trovata.  Su questo punto ci sono molte osservazioni interessanti che
si possono fare, ma vorrei per il momento fermarmi al calcolo della prima
radice.

Ho notato che nella sua ultima descrizione dell'algoritmo, il calcolo della
prima radice si e' un po' complicato, con l'aggiunta di una traslazione
"globale" dopo la prima fase, eventualmente seguita da ulteriori piccole
traslazioni fino ad annullare il termine noto.  Lei poi afferma che alla
fine la radice calcolata e' esatta in tutte le cifre fornite dal calcolatore.
Lei anzi dice che tale affermazione e' DIMOSTRATA.

Vorrei farle osservare come cio' non sia sempre possibile con un esempio,
spero chiarificante.
Se ci mettiamo nella situazione migliore possibile possiamo immaginare che
la traslazione globale che lei effettua (diciamo di valore x_*) annulli il 
termine noto della traslata (utilizzando il calcolatore).   
Ma il termine noto della traslata viene ottenuto calcolando il valore del 
polinomio iniziale nel punto x_*, quindi il termine noto della traslata si
annulla se e solo se p(x_*) si annulla esattamente quando calcolato con il 
computer.  

Purtroppo questo non implica che l'errore tra x_* e la radice
esatta sia corretto fino all'ultima cifra.  Non e' difficile anzi produrre
un esempio di polinomio di secondo grado, con due radici reali distinte, ma
molto vicine, che quando valutato con il calcolatore da esattamente zero
per valori che possono differire dalla radice esatta anche per meta' delle
cifre significative.

In definitiva, tutt'ora non vedo il motivo per cui il suo metodo dovrebbe
fornire una prima radice che sia piu' accurata di quella fornita dal metodo
di Newton.

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Colgo anche l'occasione per piccoli commenti sulla sua ultima mail:

> La perfezione formale non mi basta.

Sono d'accordo, ciononostante la correttezza formale e' uno strumento
utilissimo per mettere in luce eventuali vizi di ragionamento.


> Io non sono un matematico nel senso che mi ci vorrebbe una vita
> per meditare tutto il lavoro del passato per coglierne le bellezze.

Nessuno, men che meno i matematici, puo' pretendere arrivare a tanto.


> Io sono convinto che chiunque si sia occupato creativamente di 
> matematica sia partito da intuizioni e che poi abbia formalizzato
> il tutto.

Certo, non ho dubbi in proposito, ma non sempre la prima intuizione si e'
rivelata corretta.


> Per quanto riguarda la mia frase "sto smontando le obiezioni"
> essa è corretta in quanto se avessi detto "sto tentando di smontare.."
> avrei detto il falso in quanto ho dimostrato che con il mio algoritmo
> è possibile avere le radici esatte fino all'ultima colonna del 
> calcolatore (vedi lettera citata) e quindi ho già smontato la prima
> parte delle sue obiezioni.

La prego di non abusare del termine "dimostrato" o "dimostrazione".  Lo
fanno gia troppo gli organi di stampa:  "e' matematicamente certo...", 
"si puo' dimostrare matematicamente che l'inflazione scendera'...", ecc.



La saluto cordialmente,
                                 Maurizio Paolini