Programma:
  •  Richiami di Algebra e Algebra Lineare: il corso inizia con un breve ripasso dei concetti visti riguardo a gruppi e anelli, spazi vettoriali, matrici su anelli commutativi e determinanti, studio di un’applicazione lineare.
  •  Moduli su un anello: una volta viste le definizioni e le prime proprietà, si considerano concetti come sottomoduli, omomorfismi, moduli quozienti e somme dirette.
  •  Alcune importanti classi di moduli: si studiano in particolare moduli finitamente generati, moduli di torsione e moduli liberi.
  •  Moduli liberi su PID: concentrandosi su questa particolare classe di moduli, si studiano i sottomoduli di un modulo libero su un dominio a ideali principali, considerando l’equivalenza di matrici e i relativi fattori invarianti.
  •  Moduli finitamente generati su PID: questa parte costituisce il cuore di questo corso. Si prova il teorema fondamentale di struttura per i moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali. Si studia anche la decomposizione primaria e il teorema di invarianza.
  •  Applicazioni del teorema di struttura: si applica il precedente teorema per studiare i gruppi abeliani finitamente generati e le forme canoniche delle matrici.
  •  Prodotti tensoriali di moduli: si definiscono i prodotti tensoriali tramite le funzioni bilanciate. Si studiano poi varie proprietà di questa costruzione algebrica, considerando in seguito il caso speciale di anelli commutativi e di spazi vettoriali.
  •  Sequenze esatte di moduli e funtori esatti: si studiano sequenze esatte di moduli su un anello, vedendo alcuni classici risultati. In seguito, si introducono i concetti di categoria e funtore, studiando in particolare funtori dalla categoria dei moduli su un anello alla categoria dei gruppi abeliani.

  Bibliografia:
  •  Dispense fornite dal docente sulla piattaforma Blackboard.
  •  M. Curzio, P. Longobardi e M. Maj, Lezioni di Algebra, Liguori Editore, 1994.
  •  B. Hartley e T.O. Hawkes, Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman & Hall, London-New York, 1980.
  •  N. Jacobson, Basic Algebra I: Second Edition, Dover Books on Mathematics, 2009.
  •  N. Jacobson, Basic Algebra II: Second Edition, Dover Books on Mathematics, 2009.