Programma:
  •  Interi: il corso inizia con un breve ripasso dei concetti visti nel corso di Algebra riguardo gli interi relativi. In particolare, parleremo di divisibilità e dell’algoritmo euclideo, di equazioni diofantee e di fattorizzazione unica. Vedremo anche alcuni risultati riguardanti i primi di Mersenne, i primi di Fermat e i numeri perfetti.
  •  Classi di resto modulo n: una volta definito la relazione di equivalenza modulo n, vedremo alcune applicazioni come i criteri di divisibilità, la risoluzioni di congruenze lineari, la funzione di Eulero e il teorema di Wilson.
  •  Interi di Gauss: studieremo l’anello degli interi di Gauss, allo scopo di determinare quali interi possono essere scritti come somma di due quadrati. Vedremo poi come gli interi di Gauss possono essere utilizzati per costruire terne pitagoriche.
  •  Alcune applicazioni crittografiche: vedremo alcuni risultati riguardanti i cifrari affini, il cifrario di Vigenère e i cifrari a flusso. Considereremo poi il sistema crittografico RSA e il problema della firma digitale.
  •  Ultimo teorema di Fermat: proveremo questo teorema (nel caso di cubi e quarte potenze), seguendo le dimostrazioni di Fermat e di Eulero, basate sul metodo della discesa infinita.

  Bibliografia:
  •  Dispense fornite dal docente sulla piattaforma Blackboard.
  •  J. Kraft, L. Washington, An introduction to Number Theory with Cryptography, Second Edition, Chapman and Hall/CRC, 2018.
  •  M. Curzio, P. Longobardi e M. Maj, Lezioni di Algebra, Liguori Editore, 1994.