Corso di Elementi di Struttura della Materia (a.a. 2002-2003)

docente: Luigi Sangaletti
tel. 030-2406744 (LAB.)
e-mail sangalet@dmf.bs.unicatt.it

programma del corso

RISULTATO PROVA SCRITTA DEL 25 Giugno 2003

Matricola    Votazione
290-1757     30/30
290-0827     18/30
290-6183     20/30
290-3045     24/30
290-1137     09/30
290-1132     22/30
 

RISULTATO PROVA SCRITTA DEL 22 Luglio 2003

Matricola    Votazione
290-0949     <10/30
290-1429     24/30
290-0661     18/30
290-1137     26/30
290-0747     <10/30
T.C.            16/30

Calendario delle lezioni e argomenti svolti


Martedì 8 Aprile (3 ore)

Richiamo sulla equazione di Schroedinger per l'atomo di idrogeno.
Momento angolare orbitale e armoniche sferiche.
Analisi della parte radiale della funzione d'onda.

Rimozione della degenerazione in l per gli elettroni esterni dei metalli alcalini.
I casi del litio e del sodio. Difetto quantico e numero quantico efficace.

Trattazione semiclassica del momento di dipolo elettrico.
Irraggiamento di un dipolo elettrico e probabilità di transizione tra due livelli energetici.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Discutere, in dipendenza dai numeri quantici, le diverse autofunzioni
dell'atomo di idrogeno con particolare riferimento alla densità di probabilità radiale e alla
forma delle armoniche sferiche.
Introdurre, con riferimento all'atomo di idrogeno, l'operatore momento angolare orbitale (in termini di L^2 ed L_z)
e discutere le sue autofunzioni e i suoi autovalori. Illustrare la relazione con le armoniche sferiche e i numeri quantici.
Valutare l'effetto della distribuzione della densità di probabilità radiale sul potenziale che agisce sull'elettrone ns (n=2, 3, 4, ...)
degli atomi dei metalli alcalini.

Mercoledì 9 Aprile (2 ore)

Calcolo dell'elemento di matrice di dipolo elettrico (trattazione semiclassica) [cfr. Eisberg-Resnick par.8.7]
Regole di selezione e parità delle funzioni d'onda. Il caso delle armoniche sferiche.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Impostare il calcolo dell'elemento di matrice di dipolo elettrico a partire dalla definizione di valor
medio di un operatore, definendo in modo opportuno la funzione d'onda per un sistema a due livelli.
E' possibile stabilire una relazione tra la "parita" delle funzioni d'onda e la regola di selezione per le transizioni
di dipolo elettrico?. Discutere il caso in relazione alle armoniche sferiche.
 

Martedì 15 Aprile (3 ore)

Effetti di struttura fine. Spin dell'elettrone.
Momento magnetico associato al momento angolare orbitale e di spin.

Interazione spin-orbita.
Calcolo della energia di interazione spin-orbita (approccio semiclassico) e degli effetti relativistici.

Modello vettoriale dell'atomo. Precessione in campo magnetico. Momento angolare totale J.
Regole di selezione di dipolo elettrico per il numero quantico J.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Calcolare il termine di interazione spin-orbita in approssimazione semiclassica e mettere in
evidenza le espressioni del termine di correzione dell'energia che possono essere valutate quantisticamente.
Illustrare, con riferimento alla interazione spin-orbita, il modello vettoriale dell'atomo.
Discutere il caso della struttura fine per l'atomo di idrogeno nelle transizioni di dipolo
elettrico tra le "shell" n=4 e n=2.

Mercoledì 16 Aprile (2 ore)

Il momento angolare totale J. Calcolo del momento magnetico associato.
Il fattore di Landé.

Atomi in campo magnetico debole. L'effetto Zeeman.
Discussion dell'effetto Zeeman nel caso dell'atomo di idrogeno.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Illustrare, attraverso il modello vettoriale dell'atomo, il calcolo del momento
magnetico associato al momento angolare totale J. Qual é il significato
del fattore di Landé?

Martedì 29 Aprile (3 ore)

Effetto Zeeman normale: trattazione classica.
Regole di selezione e polarizzazione del campo elettromagnetico.
Atomi in campi magnetici intensi. Effetto Paschen-Back.
Esperimento di Stern-Gerlach.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Spiegare, attraverso il modello vettoriale, la differenza tra l'effetto
Zeeman e l'effetto Paschen-Bach.
Quale relazione c'è tra le regole di selezione per il numero quantico
magnetico e la polarizzazione della radiazione emessa nel
caso di effetto Zeeman normale?

Martedì 6 Maggio (3 ore)

Hamiltoniana per un sistema di spin 1/2. Precessione in campo magnetico.
Atomi a più elettroni. Atomo di Elio. Ortoelio e paraelio. Stati di singoletto
e di tripletto. Repulsione elettrostatica tra elettroni ed energia dello stato
fondamentale.
Interpretazione dei dati spettroscopici dell'elio. Principio di Pauli.
Accoppiamento LS. Determinazione dei livelli energetici dei diversi
stati elettronici dell'elio.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
In base a quali dati spettroscopici è stato formulato il principio di Pauli?
Perchè non è possibile avere nell'elio uno stato di tripletto per lo
stato fondamentale?
 

Mercoledì 7 Maggio (2 ore)

Accoppiamento jj.
Passaggio dall'accoppiamento LS all'accoppiamento jj
Spettri di raggi X. Generazione dei raggi X.
Spettro di Bremsstrahlung e radiazione caratteristica.
Legge di Moseley. Struttura fine degli spettri dei raggi X.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Per quale motivo l'accoppiamento LS prevale negli elementi a basso Z
e quello jj negli elementi ad alto Z?
Tra quali livelli energetici si osserva l'emissione della riga k_alpha
in un atomo? (Si tenga conto del numero quantico orbitale e della struttura fine).

Martedì 13 Maggio (1 ora)

Tavola periodica e riempimento degli orbitali.
Regole di Hund per il calcolo dello stato fondamentale di un
elemento nello schema di accoppiamento LS.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Giustificare in base a considerazioni sulla interazione spin-orbita la
regola di Hund relativa al valore di J dello stato fondamentale
di un sistema a due elettroni.

Mercoledì 14 Maggio (2 ore)

Funzioni d'onda per un sistema a due elettroni.
Fattorizzazione della funzione d'onda nella parte di spin e spaziale.
Antisimmetria e principio di esclusione di Pauli.
Elettroni equivalenti. Il caso (np)^2.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Perche' una delle regole di Hund stabilisce che lo
stato fondamentale di un sistema a più elettroni sia quello
per cui S totale è massimo? (Riferirsi nella discussione al
caso di un sistema a due elettroni).

Martedì  20 Maggio (3 ore)

Sistemi di N elettroni interagenti.
Cenni ai metodi di Hartree e Hartree-Fock.
Integrale coulombiano e di scambio in un sistema
di due elettroni interagenti. Il caso dello stato
eccitato (1s^1)(2s^1) dell'atomo di elio.
Parità delle funzioni d'onda di un sistema di due elettroni equivalenti e
parità del numero quantico angolare totale L.
Relazione tra la degenerazione in assenza di accoppiamento LS e la degenerazione delle
configurazioni risultanti dall'accoppiamento LS. Coefficienti di Clebsch-Gordan.

Mercoledì  21 Maggio (2 ore)

Struttura iperfine. Spin nucleare I e momento magnetico m_I.
Definizione di g_I. Calcolo del momento angolare totale F=I+J
e del termine di interazione tra I e J. Significato di B_J.
Costante di struttura iperfine. Struttura iperfine
dell'atomo di idrogeno.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Quali sono il significato fisico e l'origine dei termini B_J e g_I ?
Come è possibile ricavare da misure della struttura iperfine informazioni
sulla proprietà del nucleo?

Martedì  27 Maggio (3 ore)

Struttura iperfine dell'idrogeno e del deuterio.
Struttura iperfine del "doppietto" del sodio.
Struttura iperfine in campo magnetico. Effetto
Zeeman e Paschen-Back sui livelli iperfini. Calcolo di g_F.

Struttura elettronica delle molecole. La molecola di idrogeno ionizzata. Calcolo dei livelli
energetici 1ss a partire dalle funzioni d'onda dell'atomo di idrogeno.
Significato dell'integrale di sovrapposizione S e dei termini coulombiani C
e di scambio D. Orbitali leganti e antileganti e piani nodali.
Molecola di idrogeno. Calcolo degli orbitali elettronici con il
metodo LCAO (linear combination of atomic orbitals).
Orbitali s e orbitali p. Riempimento degli orbitali.
Molecole H_2, N_2 e O_2.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Quali sono i criteri per il calcolo di g_F? Confrontare il
calcolo di g_F con quello del fattore di Landè g_J.
Illustrare il calcolo degli orbitali elettronici della molecola di H_2
a partire dal calcolo degli orbitali per l'elettrone della molecola
di H_2 ionizzata. Perchè la separazione energetica tra i livelli
leganti-antileganti varia con la distanza internucleare?

Mercoledì  28 Maggio (3 ore)

Il metodo di Huckel. Applicazione al calcolo dei livelli energetici per
gli elettroni p della molecola di butadiene.

Diffusione elastica dei raggi X. Sezione d'urto di diffusione
di un elettrone libero.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Quali sono le semplificazioni del metodo di Huckel rispetto
al calcolo LCAO per la molecola di idrogeno? Come
possono essere giustificate tali approssimazioni?
Si analizzi il caso della molecola di butadiene e il relativo
calcolo degli orbitali molecolari che "derivano" dai livelli atomici 2p del carbonio.
C'é un legame tra il numero dei nodi della funzione d'onda e gli autovalori dell'energia?
Si confronti il risultato con quello per un elettrone confinato in una buca di potenziale
a pareti infinite.

Martedì 3 giugno (3 ore)
Diffusione elastica da una coppia di centri.
Calcolo della differenza di fase delle onde diffuse.
Diffusione da un insieme di centri diffusori.
Legge di Bragg per la diffrazione.
Fattore di diffusione atomico.

QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Calcolare il profilo di diffusione elastica da una schiera unidimesionale di centri diffusori equidistanti.
Confrontare il risultato ottenuto con la diffrazione della luce da parte di un reticolo.

Mercoledì 4 giugno (3 ore)
Struttura elettronica dei solidi.
Dagli orbitali molecolari alla struttura a bande nei solidi.
Metodo LCAO applicato a catene unidimensionali di atomi.
Teorema di Bloch e condizioni al contorno di Born von Karman.
Densità degli stati e dispersione delle bande energetiche.
Occupazione dei livelli energetici ed energia di Fermi nei metalli.
Sistemi ordinati bidimensionali. Struttura a bande.

Martedì 10 giugno (2 ore)
Discussione esercizi di ricapitolazione.

Esercizi proposti

1.    Esercizio Nr. 10.2 pag 191, Haken Wolf. Regole di selezione ed elemento di matrice
       di dipolo elettrico.  Quesito aggiuntivo: si determini una relazione tra i risultati al punto b)
       dell'esercizio proposto e la polarizzazione dei fotoni. (09-04-2003).
2.    Esercizio Nr. 11.1 pag 203, Haken Wolf. Difetto quantico nei metali alcalini. (09-04-2003).
3.    Valutare il termine L.S usando la definizione del momento angolare totale J=L+S  (15-04-2003)
4.     Calcolare i valori di L.S per un elettrone 2p.
        Quesito aggiuntivo:ripetere il calcolo nel casi di elettroni 3d e 4f. (15-04-2003)
5.     Nello spettro dell'atomo di idrogeno c'é una emissione intensa a 486.1 nm.
        (a) Fra quali stati (n,l) avviene tale transizione?
        (b) Tracciare un diagramma dei livelli, mostrando gli stati coinvolti nella transizione. Includere la
        struttura fine (con la sua stima) ed indicare i numeri quantici di ciascun livello. (15-04-2003)
6.    Determinare l' ampiezza della separazione tra i livelli energetici di un atomo in un campo magnetico B,
        se si assume che suddivisione dipenda solo dalla componente di m lungo J. (16-04-03)
7.    Assumendo che l'interazione L.S sia molto più forte dell'interazione con il campo magnetico
        esterno, calcolare lo sdoppiamento Zeeman anomalo per gli stati 2S_1/2, 2P_1/2, 2P_3/2 dell'idrogeno
        in un campo magnetico di 0.05 Tesla. (16-04-03)
8.    Con riferimento all'esercizio Nr.7, determinare le linee spettrali risultanti dalle transizioni
       2P_3/2->2S_1/2 e 2P1/2->2S1/2 per l'idrogeno in un campo di 0.05 Tesla. In assenza di campo magnetico queste
       transizioni danno luogo a righe spettrali di (1210-3.54x10^-3) Å e di (1210+1.77x10^-3) Å, rispettivamente. (16-04-03)
9.    Trascurando l'interazione spin-orbita in un forte campo esterno di 5 Tesla, determinare le righe
       che risultano dalla transizione 2p->1s (lambda=1210 Å) nell'idrogeno. (29-04-03)
10.  Calcolare la componente massima del momento di dipolo magnetico del vanadio (stato fondamentale 4F),
       del manganese (s.f. 6S), e del ferro (s.f. 5D) sapendo che fasci di questi atomi vengono suddivisi rispettivamente
       in 4, 6, e 9 componenti da un magnete alla Stern-Gerlach (29-04-03).
11. Determinare la massima separazione di un fascio di atomi di idrogeno che percorre una distanza di 20 cm con una
      velocità di 2x10^5 m/s perpendicolarmente a un campo magnetico il cui gradiente è 2x10^2 T/m. Trascurare
      il momento magnetico del protone (06/05/03).
12. Valutare la possibilità di fare un'esperienza alla Stern-Gerlach con ioni invece che con atomi. A questo scopo si
      paragoni la forza di Lorentz con la forza agente sullo spin dell'elettrone per un atomo singolarmente ionizzato e con
      un momento magnetico uguale a 1 magnetone di Bohr. Si assuma che la velocità dello ione sia di 100 m/s, il campo
      esterno B=1 Tesla e il gradiente del campo 100 T/m (06/05/03).
13. Si calcoli la separazione spin-orbita V_l,s per un singolo elettrone p in termini della costante
      a = [Z e^2 m_0 (h/2p)^2] / [8p m^2 r^3]. (V_l,s = a/2 [j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)] (06/05/03).
14. Esercizio Nr. 12.9, Haken Wolf. [Esercizio sulla struttura fine e sulle relative transizioni di dipolo
      elettrico in atomi a più elettroni](06/05/03).
15. Il bordo di assorbimento K del tungsteno è 0.178 Å e la lunghezza d'onda delle linee della serie K è:
      K_alpha=0.21 Å, K_beta=0.184 Å, K_gamma=0.179 Å.
      Costruire il diagramma dei livelli X del tungsteno;
      Calcolare l'energia minima richiesta per eccitare la serie L
      Calcolare la lunghezza d'onda della linea L_alpha. (07/05/03).
16. Stimare la differenza di potenziale minima richiesta in un tubo a raggi X con un anodo di ferro
      (Z=26) per emettere una linea K_alpha. Stimare inoltre la lunghezza d'onda del fotone K_alpha.(07/05/03).
17. La linea K_alpha del cobalto ha una lunghezza d'onda di 1.785 A. Calcolare la differenza di energia tra
      i livelli 1s e 2p del cobalto e paragonarla con la differenza di energia tra i livelli 1s e 2p dell'idrogeno.
18. Si calcoli per i seguenti stati elettronici l'insieme delle configurazioni possibili  nello schema
      di accoppiamento LS e la relativa degenerazione: (a) 2p3p; (b) 2p^2, (c) 3d^10; (d) 3d^9, (e) 3d^2.
      Nel caso di elettroni equivalenti si tenga conto del principio di esclusione di Pauli.
19. Si tracci lo schema dei livelli di struttura iperfine per un sistema con  J=3/2, I=3/2. Si esprima,
      in funzione della costante di struttura iperfine "a" l'energia di ciascun livello e si calcoli la
      separazione tra i livelli energetici. Si dimostri che per un generico sistema la separazione iperfine
      DE(F+1,F) tra due livelli energetici adiacenti è pari a DE(F+1,F) = a(F+1)
20. Si determini la lunghezza d'onda alla quale il picco di Bragg al primo ordine dalla
     calcite (d = 3 Å) viene a registrato a q=20°. Qual è l'angolo di incidenza relativo al
     riflesso al primo ordine ottenuto con la riga k_alpha del molibdeno (l=0.707 Å)?
     Quale variazione Dq sull'angolo di Bragg si determina quando la distanza interplanare d
     varia di Dd? (04/06/03)
21. Calcolare la lunghezza d'onda di de Broglie per una particella di massa m
     nel limite relativistico. Si discutano i casi in cui la particella
     è un elettrone da 60 keV, un neutrone termico (KE=0.025 eV) o un elettrone
     da 150 eV.(04/06/03).
22. Un sottile fascio di elettroni da 60 keV attraversa una lamina policristallina di
     argento. La distanza interatomica è 4.08 Å. Calcolare il raggio della figura di
     diffrazione del primo ordine generata dai piani di Bragg principali su uno schermo
     collocato 40 cm dietro la lamina. (04/06/03)
23. Un grosso cristallo viene impiegato per estrarre neutroni dotati di una certa energia
     da un fascio di neutroni uscente da un reattore. La distanza fra i piani di Bragg
     del cristallo è 1.1 A. Se l'angolo di bragg è fissato a 30°, qual è l'energia dei neutroni
     visti secondo questo angolo per una riflessione del primo ordine? (10/06/03)
24. Tracciare lo schema dei livelli energetici per l'atomo di litio per n=2, 3, 4 e
     indicare sul diagramma  le transizioni di dipolo elettrico permesse.
     Tracciare a fianco di tale diagramma, quello relativo ai livelli dell'atomo di idrogeno.
     Spiegare per quale motivo, a parità di numero quantico n, le energie degli
     orbitali s,p,d,f,.. sono diverse tra loro. Tracciare infine sul diagramma i livelli di
     struttura fine (10/06/03)
25. In Figura 1 sono mostrati i livelli energetici dello stato fondamentale e dei primi
     quattro stati eccitati dell'elio. Indicare sulla figura la notazione spettroscopica di
     ciascun livello e le transizioni di dipolo elettrico permesse (10/06/03).

26. Tracciare e discutere il diagramma dei livelli energetici dell'idrogeno
     per n=1 ed n=2 mettendo in evidenza la struttura fine, il "Lamb shift"
     e la struttura iperfine iperfine (10/06/03).
27. Identificare lo stato fondamentale di un atomo di magnesio (Z=12).
      Si considerino le seguenti coppie di livelli energetici:
      (a) (3s3p)1P1 ->(3s3s)1S0
      (b) (3s4p)3P1 ->(3s4s)3S1
      Per ciascuna coppia di livelli determinare la transizioni di dipolo elettrico permesse
      quando l'atomo di Mg è soggetto ad un debole campo magnetico (10/06/03).

Esercizi supplementari

Sulla struttura fine degli spettri atomici: Haken Wolf 12.5, 12.6, 12.7, 12.8 (06/05/03).
Sull'esperimento di Stern-Gerlach: Haken Wolf 12.2 (06/05/03).

Materiale didattico

Prima lezione
Seconda lezione
Terza lezione
Quarta lezione
Quinta lezione
Sesta lezione
Settima lezione
Ottava lezione
Nona lezione
Decima lezione
Undicesima lezione
Dodicesima Lezione
Tredicesima Lezione

Links

Database di spettroscopia atomica
http://physics.nist.gov/PhysRefData/contents-atomic.html

Materiale di riferimento sui raggi X (sorgenti, rivelatori, spettroscopia)
http://www-cxro.lbl.gov/optical_constants/web.html
http://xdb.lbl.gov/

Sito commerciale con informazioni sulle proprietà
dei diversi elementi della tavola periodica e dei loro composti.
http://www.webelements.com/

Diffrazione e cristallografia
http://www.ccp14.ac.uk/database.htm

Materiali: struttura e proprietà
http://www.ill.fr/dif/3D-crystals/index.html

Dal silicio al computer. Lezioni elementari di struttura atomica e fisica
dei solidi e dei dispositivi
http://maccw.sns.it/dsac/