Corso
di Elementi di Struttura della Materia (a.a. 2005-2006)
docente: Luigi Sangaletti
tel. 030-2406744 (LAB)
e-mail
sangalet@dmf.bs.unicatt.it
esercitatore: Stefania Pagliara
tel. 030-2406749 (UFF.)
e-mail pagliara@dmf.bs.unicatt.it
Programma
del corso
Testi
consigliati:
HW1990: H.
Haken, H. Wolf, FISICA ATOMICA
E QUANTISTICA, Bollati Boringhieri (Torino, 1990)
DG1995: D. J. Griffiths, INTRODUCTION TO QUANTUM MECHANICS,
Prentice Hall (1995)
[traduzione
italiana: Introduzione alla
Meccanica Quantistica, a cura di Ciccacci, Quartapelle, CEA
Editore (2005)]
Testi di
consultazione:
P.
W. Atkins, R.S. Friedman, MECCANICA
QUANTISTICA MOLECOLARE, Zanichelli, Bologna
B. H. Bransden, C. J. Joachain,
PHYSICS OF ATOMS AND MOLECULES, Longman
Scientific & Technical (New York, 1988)
J.
C. Slater, TEORIA
QUANTISTICA DELLA MATERIA, Zanichelli, Bologna
RISULTATI PROVA SCRITTA DEL 3
Luglio 2006
matr. 3203143 25/30
matr. 3205714 24/30
matr. 3203188 27/30
Materiale didattico
Prima
lezione
Seconda
lezione
Terza
lezione
Quarta
lezione
Quinta
lezione
Sesta
lezione
Settima
e ottava lezione
Raggi X (ampliata)
Nona
lezione
Nona
lezione (complementi)
Undicesima lezione (Molecole)
Esempi di temi
d'esame (1, 2)
Argomenti svolti
Introduzione al corso. L'atomo di Bohr e gli atomi idrogenoidi.
Comportamento ondulatorio delle particelle.
Dalla diffrazione dei raggi X alla diffrazione degli elettroni.
Legge di Bragg per la diffrazione. HW1990, par. 2.4.5
Richiamo sulla equazione di Schroedinger per l'atomo di idrogeno.
Momento angolare orbitale e armoniche sferiche.
Analisi della parte radiale della funzione d'onda.
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Discutere, in dipendenza dai numeri quantici, le
diverse autofunzioni
dell'atomo di idrogeno con particolare
riferimento alla densità di probabilità radiale e alla
forma delle armoniche sferiche.
Introdurre, con riferimento all'atomo di
idrogeno, l'operatore momento angolare orbitale (in termini di L^2 ed
L_z)
e discutere le sue autofunzioni e i suoi
autovalori. Illustrare la relazione con le armoniche sferiche e i numeri
quantici.
Rimozione della degenerazione in l per gli elettroni esterni dei
metalli alcalini.
I casi del litio e del sodio. Difetto quantico e numero quantico
efficace. HW1990, cap.11
Trattazione semiclassica del momento di dipolo elettrico.
Irraggiamento di un dipolo elettrico e probabilità di
transizione tra due livelli energetici. DG1995, par.9-1, par.9-2
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Valutare l'effetto della distribuzione della
densità di probabilità radiale sul potenziale che agisce
sull'elettrone ns (n=2, 3, 4, ...)
degli atomi dei metalli alcalini.
Calcolo dell'elemento di matrice di dipolo
elettrico. Regola d'oro di Fermi. DG1995, par.9.1, par.9.2
Regole di selezione e parità delle
funzioni d'onda. Il caso delle armoniche sferiche. HW1990, par.16.1.3
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Impostare il calcolo dell'elemento di matrice di
dipolo elettrico a partire dalla definizione di valor
medio di un operatore, definendo in modo
opportuno la funzione d'onda per un sistema a due livelli.
E' possibile stabilire una relazione tra la
"parita" delle funzioni d'onda e la regola di selezione per le
transizioni
di dipolo elettrico?. Discutere il caso in
relazione alle armoniche sferiche.
Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo per livelli NON
degeneri. DG1995, par.6.1.1,
par.6.1.2
Risoluzione del problema al primo ordine.
Effetti di struttura fine. Spin
dell'elettrone. HW1990,
cap.12
Momento magnetico associato al momento angolare
orbitale e di spin.
Interazione spin-orbita. Calcolo
della energia di interazione spin-orbita.
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Calcolare il termine di interazione spin-orbita
in approssimazione semiclassica e mettere in
evidenza le espressioni del termine di correzione
dell'energia che possono essere valutate quantisticamente.
Struttura fine ed effetti relativistici.
Modello vettoriale dell'atomo. Precessione in campo magnetico. Momento
angolare totale J.
Regole di selezione di dipolo elettrico per il
numero quantico J.
Il momento angolare totale J. Calcolo del momento magnetico associato.
Il fattore di Landé.
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Illustrare, con riferimento alla interazione
spin-orbita, il modello vettoriale dell'atomo.
Discutere il caso della struttura fine per
l'atomo di idrogeno nelle transizioni di dipolo
elettrico tra le "shell" n=4 e n=2.
Illustrare, attraverso il modello
vettoriale dell'atomo, il calcolo del momento
magnetico associato al momento angolare totale J.
Qual é il significato
del fattore di Landé?
Atomi in campo magnetico debole. L'effetto
Zeeman. HW1990,
par. 13.1-13.4
Discussion dell'effetto Zeeman nei casi
dell'atomo di idrogeno e di sodio.
Effetto Paschen-Bach
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Spiegare, attraverso il modello vettoriale, la
differenza tra l'effetto
Zeeman e l'effetto Paschen-Bach.
Effetto Zeeman normale: trattazione classica.
Regole di selezione e polarizzazione del campo
elettromagnetico.
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Quale relazione c'è tra le regole di
selezione per il numero quantico
magnetico e la polarizzazione della radiazione
emessa nel
caso di effetto Zeeman normale?
Hamiltoniana per un sistema di spin 1/2.
Precessione in campo magnetico. HW1990, par. 14.2
Atomi a più elettroni. Atomo di Elio.
Ortoelio e paraelio. Stati di singoletto HW1990, cap.17
e di tripletto. Repulsione elettrostatica tra
elettroni ed energia dello stato
fondamentale.
Interpretazione dei dati spettroscopici
dell'elio. Principio di Pauli.
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
In base a quali dati spettroscopici è
stato formulato il principio di Pauli?
Perchè non è possibile avere
nell'elio uno stato di tripletto per lo
stato fondamentale?
Stati eccitati dell'atomo di elio.
Accoppiamento LS. Determinazione dei livelli energetici dei diversi
stati elettronici dell'elio. Accoppiamento
jj.
Passaggio dall'accoppiamento LS all'accoppiamento jj .
Teorema variazionale. Applicazione all'atomo di
elio. DG1995,
par.7.1-7.3
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Per quale motivo l'accoppiamento LS prevale negli
elementi a basso Z
e quello jj negli elementi ad alto Z?
Funzioni d'onda per un sistema a due elettroni. HW1990, par. 19.4
Fattorizzazione della funzione d'onda nella parte di spin e spaziale.
Antisimmetria e principio di esclusione di Pauli.
Stati di singoletto e di tripletto.
Tavola periodica e riempimento degli orbitali. HW1990, par. 19.1-19.3
Regole di Hund per il calcolo dello stato fondamentale di un
elemento nello schema di accoppiamento LS.
Elettroni equivalenti e principio di esclusione di Pauli.
Spettri di raggi X. Generazione dei raggi X. HW1990, cap. 18
Spettro di Bremsstrahlung e radiazione
caratteristica.
Legge di Moseley. Struttura fine degli spettri
dei raggi X.
QUESITI DI AUTOVALUTAZIONE
Tra quali livelli energetici si osserva
l'emissione della riga k_alpha
in un atomo? (Si tenga conto del numero quantico
orbitale e della struttura fine).
Struttura elettronica delle molecole.
La molecola di idrogeno ionizzata. Calcolo dei livelli
energetici a partire dalle funzioni d'onda dell'atomo di
idrogeno.
Significato dell'integrale di sovrapposizione S e dei termini
coulombiani C
e di scambio D. Orbitali leganti e antileganti e piani nodali.
Esercizi proposti
1. Esercizio Nr. 10.2 pag 191,
Haken Wolf. Regole di selezione ed elemento di matrice
di dipolo
elettrico. Si determini una relazione tra
i risultati al punto b)
dell'esercizio proposto e la polarizzazione dei fotoni.
2. Esercizio Nr. 11.1 pag 203,
Haken Wolf. Difetto quantico nei metali alcalini.
3. Valutare il termine L.S
usando la definizione del momento angolare totale J=L+S
4. Calcolare i valori di
L.S per un elettrone 2p. Ripetere il calcolo nel casi di elettroni 3d e 4f.
5. Nello spettro
dell'atomo di idrogeno c'é una emissione intensa a 486.1 nm.
(a)
Fra quali stati (n,l) avviene tale transizione?
(b)
Tracciare un diagramma dei livelli, mostrando gli stati coinvolti nella
transizione. Includere la
struttura fine (con la sua stima) ed indicare i numeri quantici di
ciascun livello.
6. Determinare
l' ampiezza della separazione tra i livelli energetici di un atomo in
un campo magnetico B,
se si
assume che suddivisione dipenda solo dalla componente di m lungo J.
7. Assumendo che l'interazione
L.S sia molto più forte dell'interazione con il campo magnetico
esterno, calcolare lo sdoppiamento Zeeman anomalo per gli stati 2S_1/2,
2P_1/2, 2P_3/2 dell'idrogeno
in un
campo magnetico di 0.05 Tesla.
8. Con riferimento
all'esercizio Nr.7, determinare le linee spettrali risultanti dalle
transizioni
2P_3/2->2S_1/2 e 2P1/2->2S1/2 per l'idrogeno in un campo di 0.05
Tesla. In assenza di campo magnetico queste
transizioni
danno luogo a righe spettrali di (1210-3.54x10^-3) Å e di
(1210+1.77x10^-3) Å, rispettivamente.
9. Trascurando l'interazione
spin-orbita in un forte campo esterno di 5 Tesla, determinare le righe
che
risultano dalla transizione 2p->1s (lambda=1210 Å) nell'idrogeno.
10. Calcolare la componente massima del
momento di dipolo magnetico del vanadio (stato fondamentale 4F),
del
manganese (s.f. 6S), e del ferro (s.f. 5D) sapendo che fasci di questi
atomi vengono suddivisi rispettivamente
in 4, 6, e 9
componenti da un magnete alla Stern-Gerlach.
11. Determinare la massima separazione di un
fascio di atomi di idrogeno che percorre una distanza di 20 cm con una
velocità di
2x10^5 m/s perpendicolarmente a un campo magnetico il cui gradiente
è 2x10^2 T/m. Trascurare
il momento
magnetico del protone.
12. Valutare la possibilità di fare
un'esperienza alla Stern-Gerlach con ioni invece che con atomi. A questo
scopo si
paragoni la forza
di Lorentz con la forza agente sullo spin dell'elettrone per un atomo
singolarmente ionizzato e con
un momento
magnetico uguale a 1 magnetone di Bohr. Si assuma che la velocità
dello ione sia di 100 m/s, il campo
esterno B=1 Tesla
e il gradiente del campo 100 T/m.
13. Si calcoli la separazione spin-orbita V_l,s
per un singolo elettrone p in termini della costante
a = [Z e^2 m_0 (h/2p)^2] / [8p m^2 r^3]. (V_l,s = a/2 [j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)].
14. Esercizio Nr. 12.9, Haken Wolf. [Esercizio
sulla struttura fine e sulle relative transizioni di dipolo
elettrico in atomi
a più elettroni].
15. Il bordo di assorbimento K del tungsteno
è 0.178 Å e la lunghezza d'onda delle linee della serie K
è:
K_alpha=0.21
Å, K_beta=0.184 Å, K_gamma=0.179 Å.
Costruire il
diagramma dei livelli X del tungsteno;
Calcolare
l'energia minima richiesta per eccitare la serie L
Calcolare la
lunghezza d'onda della linea L_alpha.
16. Stimare la differenza di potenziale minima
richiesta in un tubo a raggi X con un anodo di ferro
(Z=26) per
emettere una linea K_alpha. Stimare inoltre la lunghezza d'onda del
fotone K_alpha..
17. La linea K_alpha del cobalto ha una lunghezza
d'onda di 1.785 A. Calcolare la differenza di energia tra
i livelli 1s e 2p
del cobalto e paragonarla con la differenza di energia tra i livelli 1s
e 2p dell'idrogeno.
18. Si calcoli per i seguenti stati elettronici
l'insieme delle configurazioni possibili nello schema
di accoppiamento
LS e la relativa degenerazione: (a) 2p3p; (b) 2p^2, (c) 3d^10; (d) 3d^9,
(e) 3d^2.
Nel caso di
elettroni equivalenti si tenga conto del principio di esclusione di
Pauli.
19. Si tracci lo schema dei livelli di struttura
iperfine per un sistema con J=3/2, I=3/2. Si esprima,
in funzione della
costante di struttura iperfine "a" l'energia di ciascun livello e si
calcoli la
separazione tra i
livelli energetici. Si dimostri che per un generico sistema la
separazione iperfine
DE(F+1,F) tra due livelli energetici adiacenti
è pari a DE(F+1,F) = a(F+1)
20. Si determini la lunghezza d'onda alla quale
il picco di Bragg al primo ordine dalla
calcite (d = 3 Å)
viene a registrato a q=20°. Qual
è l'angolo di incidenza relativo al
riflesso al primo ordine
ottenuto con la riga k_alpha del molibdeno?
Quale variazione Dq sull'angolo di
Bragg si determina quando la distanza interplanare d
varia di Dd?
21. Calcolare la lunghezza d'onda di de Broglie
per una particella di massa m
nel limite
relativistico. Si discutano i casi in cui la particella
è un elettrone da
60 keV, un neutrone termico (KE=0.025 eV) o un elettrone
da 150 eV.
22. Un sottile fascio di elettroni da 60 keV
attraversa una lamina policristallina di
argento. La distanza
interatomica è 4.08 Å. Calcolare il raggio della figura di
diffrazione del primo
ordine generata dai piani di Bragg principali su uno schermo
collocato 40 cm dietro
la lamina.
23. Un grosso cristallo viene impiegato per
estrarre neutroni dotati di una certa energia
da un fascio di neutroni
uscente da un reattore. La distanza fra i piani di Bragg
del cristallo è
1.1 A. Se l'angolo di bragg è fissato a 30°, qual è
l'energia dei neutroni
visti secondo questo
angolo per una riflessione del primo ordine?
24. Tracciare lo schema dei livelli energetici
per l'atomo di litio per n=2, 3, 4 e
indicare sul
diagramma le transizioni di dipolo elettrico permesse.
Tracciare a fianco di
tale diagramma, quello relativo ai livelli dell'atomo di idrogeno.
Spiegare per quale
motivo, a parità di numero quantico n, le energie degli
orbitali s,p,d,f,.. sono
diverse tra loro. Tracciare infine sul diagramma i livelli di
struttura fine
25. In Figura 1 sono mostrati i livelli
energetici dello stato fondamentale e dei primi
quattro stati eccitati
dell'elio. Indicare sulla figura la notazione spettroscopica di
ciascun livello e le
transizioni di dipolo elettrico permesse.
26. Tracciare e discutere il diagramma dei
livelli energetici dell'idrogeno
per n=1 ed n=2 mettendo
in evidenza la struttura fine, il "Lamb shift"
e la struttura iperfine.
27. Identificare lo stato fondamentale di un
atomo di magnesio (Z=12).
Si considerino le
seguenti coppie di livelli energetici:
(a) (3s3p)1P1
->(3s3s)1S0
(b) (3s4p)3P1
->(3s4s)3S1
Per ciascuna
coppia di livelli determinare la transizioni di dipolo elettrico permesse
quando l'atomo di
Mg è soggetto ad un debole campo magnetico.
Esercizi supplementari
Sulla struttura fine degli spettri atomici: Haken
Wolf 12.5, 12.6, 12.7, 12.8.
Sull'esperimento di Stern-Gerlach: Haken Wolf
12.2.
Links
Database di spettroscopia atomica
http://physics.nist.gov/PhysRefData/contents-atomic.html
Materiale di riferimento sui raggi X
(sorgenti, rivelatori, spettroscopia)
http://www-cxro.lbl.gov/optical_constants/web.html
http://xdb.lbl.gov/
Sito commerciale con informazioni sulle
proprietà
dei diversi elementi della tavola periodica e dei
loro composti.
http://www.webelements.com/
Diffrazione e cristallografia
http://www.ccp14.ac.uk/database.htm
Materiali: struttura e proprietà
http://www.ill.fr/dif/3D-crystals/index.html
Dal silicio al computer. Lezioni elementari di
struttura atomica e fisica
dei solidi e dei dispositivi
http://maccw.sns.it/dsac/