mar 2/10
Introduzione al corso. Equazione di Poisson, del calore, delle
onde. Equazione di bilancio. PDE ed esempi. Il caso del primo ordine: caratteristiche.
mer 3/10
Esempio con le caratteristiche. Multiindici. Equazioni quasilineari, semilineari, lineari.
Equazioni del secondo ordine semilineari: equazioni ellittiche,
paraboliche, iperboliche. Cenno al Teorema di Cauchy-Kovalevskaya (senza
dimostrazione).
lun 7/10
Varietà caratteristiche. Compatibilità dei dati. Direzioni caratteristiche per operatori ellittici, parabolici, iperbolici. Aggiunto formale con esempio. Formula per parti.
mer 9/10
Operatori autoaggiunti. Formula di Green. Introduzione alle distribuzioni. Spazi test
e nozioni di convergenza.
lun 14/10
Convergenza di distribuzioni. Supporto di una
distribuzione. Distribuzioni a supporto compatto. Distribuzioni
regolari. Esempi.
mer 16/10
Distribuzioni singolari. Delta di Dirac e suo supporto. Derivata di
una distribuzione. Operatore differenziale applicato a una
distribuzione. Derivata della funzione di Heaviside. Funzioni di
Schwartz. Distribuzioni temperate. Funzioni a crescita lenta.
mar 22/10
Convoluzione di funzioni. Prodotto tensoriale di funzioni e di
distribuzioni. Convoluzione di distribuzioni. Convoluzione con la
delta di Dirac.
mer 23/10
Soluzioni generalizzate. Soluzione fondamentale e sua
molteplicità. Teorema fondamentale della soluzione
fondamentale. Teorema di unicità. Soluzione fondamentale per
equazioni lineari ordinarie. Esempi.
lun 28/10
Soluzione fondamentale del laplaciano. Distribuzioni di strato
semplice e di doppio strato. Potenziali di volume, strato semplice,
doppio strato.
mer 30/10
Formula dei potenziali con dimostrazione. Funzioni
armoniche. Teoremi del valor medio. Teorema inverso del valor medio.
lun 4/11
Principio del massimo. Principio del massimo in forma forte. Unicità
per il problema di Dirichlet e di Neumann interno ed esterno.
Unicità per il problema misto.
mer 6/11
Dipendenza continua dai dati al bordo. Sovrapposizione degli
effetti. Funzione di Green. Simmetria della funzione di Green.
lun 11/11
Soluzione del problema di Dirichlet mediante la funzione di
Green. Inversione sferica. Funzione di Green per la sfera e nucleo
di Poisson.
mer 13/11
Trasformata di Fourier di funzioni L^1. Trasformata di una
convoluzione. Legame tra trasformata e derivata. Trasformata nello
spazio di Schwartz. Trasformata della gaussiana.
Antitrasformata.
lun 18/11
Trasformata di distribuzioni temperate. Trasformata della delta di
Dirac. Soluzione fondamentale per l'operatore del calore e sue
proprietà.
mer 20/11
Soluzione del problema ai valori iniziali per l'equazione del
calore. Il problema misto per l'equazione del calore: principio del
massimo.