Sistemi dinamici 2024-2025

Appunti del corso (versione del 26 febbraio 2025)

Testi dei temi d'esame di Sistemi Dinamici

Alcuni risultati degli esercizi dai temi d'esame (in ordine sparso)

Diario delle lezioni

  1. Lezione del 21 febbraio 2025
    Modelli epidemiologici. Modello SIS. Modello SIR. Orbite nel piano delle fasi per il modello SIR. Picco massimo dei contagi.
  2. Lezione del 26 febbraio 2025
    Modelli SIR con GeoGebra. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Riduzione al primo ordine. Sistemi autonomi. Esempio di soluzione non unica: pennello di Peano. Esempio di soluzione non globale. Esistenza di soluzioni globali. Orbite e traiettorie. Spazio delle fasi e ritratto di fase. Esempi.
  3. Lezione del 28 febbraio 2025
    Traslazione temporale nei sistemi autonomi. Semigruppo associato a un sistema differenziale con esempi. Semigruppi astratti e invertibili. Costruzione di un sistema differenziale a partire da un semigruppo. Processi e loro proprietà. Esempio unidimensionale. Sistemi topologicamente equivalenti ed esistenza globale.
  4. Lezione del 5 marzo 2025
    Soluzioni di equilibrio. Stabilità secondo Ljapunov. Stabilità asintotica, globale, esponenziale con esempi. Bacino di attrazione. Esempio di equilibrio instabile che attrae puntualmente un suo intorno. Esempio dell'oscillatore armonico smorzato.
  5. Lezione del 12 marzo 2025
    Esempio dello smorzatore lineare. Sistemi differenziali lineari. Esponenziale di matrice e proprietà. Soluzione dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Caso non omogeneo. Discussione sul caso lineare a coefficienti non costanti.
  6. Lezione del 14 marzo 2025
    Esponenziale di matrice nel caso 2x2: caso diagonalizzabile, non diagonalizzabile, complesso. Casistica nel piano delle fasi per un sistema 2x2: nodi, selle, fuochi, centri. Teorema tau-delta. Esponenziale dei blocchi di Jordan. Teorema sulla stabilità dei sistemi lineari.
  7. Lezione del 19 marzo 2025
    Casi degeneri per un sistema 2x2. Esempi del quarto ordine. Regola di Cartesio. Matrice di Hurwitz. Criterio di Routh-Hurwitz. Criterio di Liénard-Chipart. Condizione necessaria sul segno dei coefficienti. Esempi ed esercizi.
  8. Lezione del 21 marzo 2025
    Stabilità dei sistemi non lineari: Teorema di linearizzazione e dimostrazione della prima parte. Dimostrazione della seconda parte.
  9. Lezione del 26 marzo 2025
    Esempio del pendolo semplice. Posizione iperbolica. Controesempio alla linearizzazione. Funzione di Ljapunov: definizione e sua generalizzazione. Teorema di Ljapunov sulla stabilità. Applicazione al pendolo semplice. Il caso di funzione di Ljapunov conservata sulle traiettorie.
  10. Lezione del 28 marzo 2025
    Teorema di Ljapunov sulla stabilità asintotica. Bacino di attrazione. Esempi ed esercizi.
  11. Lezione del 2 aprile 2025
    Teorema sull'instabilità sorgente. Teorema di Cetaev sull'instabilità (solo enunciato). Metodo delle isocline. Esercizi da temi d'esame.
Risorse online