Alcuni risultati degli esercizi dai temi d'esame
(in ordine sparso)
Diario delle lezioni
Lezione del 21 febbraio 2025
Modelli epidemiologici. Modello SIS. Modello SIR. Orbite nel piano
delle fasi per il modello SIR. Picco massimo dei contagi.
Lezione del 26 febbraio 2025
Modelli SIR con GeoGebra. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie
del primo ordine. Riduzione al primo ordine. Sistemi autonomi. Esempio
di soluzione non unica: pennello di Peano. Esempio di soluzione non
globale. Esistenza di soluzioni globali. Orbite e traiettorie. Spazio
delle fasi e ritratto di fase. Esempi.
Lezione del 28 febbraio 2025
Traslazione temporale nei sistemi autonomi. Semigruppo associato a un
sistema differenziale con esempi. Semigruppi astratti e
invertibili. Costruzione di un sistema differenziale a partire da un
semigruppo. Processi e loro proprietà. Esempio unidimensionale.
Sistemi topologicamente equivalenti ed esistenza globale.
Lezione del 5 marzo 2025
Soluzioni di equilibrio. Stabilità secondo Ljapunov. Stabilità
asintotica, globale, esponenziale con esempi. Bacino di attrazione.
Esempio di equilibrio instabile che attrae puntualmente un suo
intorno. Esempio dell'oscillatore armonico smorzato.
Lezione del 12 marzo 2025
Esempio dello smorzatore lineare. Sistemi differenziali
lineari. Esponenziale di matrice e proprietà. Soluzione dei sistemi
lineari a coefficienti costanti. Caso non omogeneo. Discussione sul
caso lineare a coefficienti non costanti.
Lezione del 14 marzo 2025
Esponenziale di matrice nel caso 2x2: caso diagonalizzabile, non
diagonalizzabile, complesso. Casistica nel piano delle fasi per un
sistema 2x2: nodi, selle, fuochi, centri. Teorema
tau-delta. Esponenziale dei blocchi di Jordan. Teorema sulla
stabilità dei sistemi lineari.
Lezione del 19 marzo 2025
Casi degeneri per un sistema 2x2. Esempi del quarto ordine. Regola di
Cartesio. Matrice di Hurwitz. Criterio di Routh-Hurwitz. Criterio di
Liénard-Chipart. Condizione necessaria sul segno dei coefficienti.
Esempi ed esercizi.
Lezione del 21 marzo 2025
Stabilità dei sistemi non lineari: Teorema di linearizzazione e
dimostrazione della prima parte. Dimostrazione della seconda
parte.
Lezione del 26 marzo 2025
Esempio del pendolo semplice. Posizione iperbolica. Controesempio
alla linearizzazione. Funzione di Ljapunov: definizione e sua
generalizzazione. Teorema di Ljapunov sulla stabilità. Applicazione al
pendolo semplice. Il caso di funzione di Ljapunov conservata sulle
traiettorie.
Lezione del 28 marzo 2025
Teorema di Ljapunov sulla stabilità asintotica. Bacino di attrazione.
Esempi ed esercizi.
Lezione del 2 aprile 2025
Teorema sull'instabilità sorgente. Teorema di Cetaev
sull'instabilità. Metodo delle isocline. Esempio. Sistemi
hamiltoniani. Sistemi gradiente.