Le serie geometriche

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Per calcolare la lunghezza della curva bisogna ricorrere ad una serie geometrica. Brevemente: una serie è una somma infinita di numeri. L'esempio tipico è quello di prendere un segmento lungo 1, poi sommargli la sua metà, poi sommargli un quarto (la metà della metà), poi un ottavo e così via; è abbastanza evidente che con una somma infinita di termini, tutti strettamente positivi, si arriva a un segmento lungo 2, e quindi in particolare a una quantità finita. Questo è un esempio di serie geometrica, in cui si sommano termini del tipo
La scrittura usata correntemente per una serie geometrica è , dove q viene chiamata la “ragione” della serie. Nell'esempio precedente, si aveva . In generale, capita che se q è più piccolo di 1 la somma della serie è un valore finito e il valore della somma è (si dice che la serie converge).
Se q è maggiore o uguale a 1 la somma della serie dà infinito (la serie diverge).

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