SI DISCUTE in questi giorni sul "giuoco del lotto". In una rilettura di Benedetto Croce ho trovato il seguente passo: Non si dimentichi che Garibaldi in quell'anno (1860) abolì in Napoli perfino la fonte settimanale delle speranze e dei sogni della povera gente, il giuoco del lotto: laddove un regime che più di sessant'anni dopo gli successe in Italia ebbe tra le prime sue sollecitudini, prima ancora di una sua corrotta e corruttrice Accademia d'Italia, la creazione di un Montecarlo italiano, di una bisca ufficiale in una piccola e deliziosa città italiana... (Benedetto Croce, "La mia filosofia" Adelphi, Milano 1993).
In realtà, con la caduta del fascismo l'Accademia d'Italia è ritornata a essere l'Accademia dei Lincei, una delle più antiche d'Europa, mentre il giuoco del lotto è ancora in auge.
Non sono un matematico di professione, ma uno studioso che impiega il "calcolo delle probabilità" in una varietà di problemi che vanno dalla Termodinamica, alla Biologia Teorica, alla Teoria dell'Informazione. Mi sono perciò divertito a fare alcuni semplicissimi calcoli che cercherò di illustrare anche a lettori che, come lo stesso Croce, non amano la matematica (purtroppo non sono pochi!).
Il caso più semplice è un "giuoco binario". Si basa sull'estrazione di un numero, 0 oppure 1, da un'urna contenente un numero eguale e sufficientemente grande di questi due numeri. La probabilità matematica "a priori" di estrazione di uno di questi due numeri è uguale a 1/2. Il premio "onesto" allo scommettitore è il suo inverso, cioè 2 volte la posta (compresa la posta).
La roulette. I numeri sono 37 (0, 1, 2..., 36). Il numero 0 è a favore del banco. La probabilità a priori di un dato numero vincente è 1/37. Il premio conferito a uno scommettitore vincente è 36 volte la posta, il premio matematico "onesto" è invece 37 volte la posta. Il rapporto tra premio "conferito" e premio matematicamente "onesto" è 1.03. Non si può non condividere l'affermazione del grande matematico Von Neumann, secondo il quale il modo matematicamente sicuro di vincere alla roulette richiede il possesso della roulette (non so se Von Neumann avesse letto "Il giocatore" di Dostoevskij).
Il giuoco del lotto. I numeri estraibili da un'urna sono 90 (1, 2, 3,... 90). Vi sono 10 "ruote" corrispondenti ciascuna a 5 numeri estratti. Dobbiamo considerare 5 casi possibili:
1) la probabilità "a priori" di estrazione di un dato numero su di una data ruota è 1/90. Se la scommessa è sulle 10 ruote, diventa 1/9. Il premio matematicamente "onesto" per lo scommettitore su di una data ruota, su un dato numero, dovrebbe essere 90 volte la posta. Il premio conferitogli è 11,6 volte la posta. Il rapporto fra queste due quantità è 7,76 (che è enorme!).
2) La probabilità matematica "condizionale" di estrazione di una data coppia di numeri (ambo) su di una data ruota è 1/90 X 1/90. Il premio matematicamente "onesto" per lo scommettitore dovrebbe essere: 90 X 90 = 8100 volte la posta. Il premio conferito è invece 250 volte la posta. Il rapporto fra queste quantità è 32,4 (ancora più enorme!).
3) La probabilità matematica "condizionale" di estrazione di una data "terna" di numeri su di una data ruota è: 1/90 X 1/90 X 1/90. Il premio matematicamente "onesto" per lo scommettitore è 90 X 90 X 90 = 270.000 volte la posta contro un premio conferito di 4250 volte. (Il rapporto è 63,5!).
4) La probabilità "condizionale" di estrazione di una data "quaterna" di numeri su di una data ruota è: 1/90 X 1/90 X 1/90 X 1/90. Il premio matematicamente "onesto" è 90 X 90 X 90 X 90 = 3.600.000 la posta. Il premio conferito è 80.000 volte, il rapporto è 45.
5) La probabilità "condizionale" di estrazione di una data "cinquina" su di una data ruota è: 1/90 X 1/90 X 1/90 X 1/90 per 1/90. Il premio matematicamente "onesto" è 90 X 90 X 90 X 90 X 90 = 450.000.000 volte la posta, il premio conferito è, invece, soltanto 1.000.000 di volte la posta. Il rapporto è 450!
È evidente che le probabilità calcolate si basano sull'ipotesi, più che valida, che siano applicabili le "leggi dei grandi numeri" (nel 1995 sono state scommesse 5.414.000.000.000 lire). Inoltre, è da ricordare sia i premi "matematici" che quelli "conferiti" nel caso di una ruota, vanno divisi per 10 se la scommessa è giocata su "tutte le ruote".
Mi sembra che questi semplici calcoli forniscano dei risultati alquanto impressionanti. Qualunque persona si rifiuterebbe di scommettere 1000 lire in un giuoco binario (0 e 1, "testa o croce") sapendo di vincere molto meno della posta in caso di successo. Scommette però 1000 lire al giuoco del lotto accettando di vincere 11.600 lire in caso di successo, invece di 90.000, non rendendosi conto dell'enorme divario perché non ha alcuna nozione del concetto di probabilità. Il caso diventa paradossale per chi scommette 1000 lire su di una "cinquina" sperando di vincere 1.000.000 di lire mentre il premio che gli spetterebbe, in caso di successo, è di 450.000.000 di lire.
MI VIENE in mente la storia che ci raccontò un anziano professore di Chimica quando eravamo studenti all'Università di Roma. Era bambino e viveva a Siena; una mattina impose con insistenza a sua zia di scommettere al lotto un suo piccolissimo risparmio (centesimi) su di una data cinquina di numeri sulla ruota di quella città. La cinquina fu estratta puntualmente e la zia acquistò per lui una capretta. Um premio matematicamente "onesto" le avrebbe consentito di acquistargli forse una casa.
In conclusione non posso non essere d'accordo con Luca Einaudi che, in una lettera da Cambridge pubblicata su "Repubblica" sotto il titolo "la lotteria è un tributo iniquo?", mette in dubbio l'opportunità di estendere la "tassa sull'ignoranza" anche a fini culturali. Il fine, per quanto nobile, a mio parere, non sempre giustifica i mezzi.