Riconoscere che questo non si può fare e quindi concludere che lo spettro non ammette assi di simmetria, ovvero è chirale.
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Tentare di sovrapporre una piastrella a faccia in su ed una
a faccia in giù (faccia grigia in alto).
Riconoscere che questo non si può fare e quindi concludere che lo spettro
non ammette assi di simmetria, ovvero è chirale.
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Accostare le piastrelle per traslazione (senza ruotarle).
Si può impilare quante piastrelle si voglia... ma se la torre è composta
da più di tre piastrelle non si potrà estendere la tassellazione (provare!)
Questo particolare e importante accostamento di due piastrelle richiede una rotazione di 30 gradi della
piastrella superiore (gialla).
Questo abbinamento è stato denominato Mistico e svolge un ruolo cruciale nella dimostrazione
della tassellabilità del piano.
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Utilizzando Spettri e Mistici possiamo costruire aggregati che chiameremo Spettro e Mistico
di livello 1.
Lo Spettro di livello 1 si ottiene circondando un Mistico (di livello 0) con 7 Spettri disposti
come in figura. Rispetto al tassello blu del Mistico e procedendo in senso orario, dal rosa più tenue al rosso,
l'angolo di rotazione di ciascuno Spettro è -120, -60, -60, 0, 60, 60, 120 gradi.
Il Mistico di livello 1 poi si ottiene rimuovendo lo spettro più esterno con angolo -60.
Queste costruzioni sono il primo passo di una procedura che si generalizza e che permette di riempire regioni sempre più estese.
Riflessione: Riconoscere che il tassello giallo del Mistico è ruotato rispetto ai tasselli circostanti
di un multiplo dispari di 30°. Questa è una caratteristica distintiva di quel tassello.
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Osservazione: A causa della presenza di una riflessione nel processo
di suddivisione definito dagli scopritori, i sottocluster di livello 1
andrebbero posizionati procedendo in senso antiorario anziché orario, con
la conseguenza che per ottenere il Mistico di livello 2 si dovrà rimuovere un
cluster in alto a destra anziché in alto a sinistra.
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Chiaramente non abbiamo un numero sufficiente di piastrelle per costruire un cluster di
livello 3, comunque sarebbe interessante anche solo ottenerne la parte centrale composta
da un Mistico (di livello 2) e dai due Spettri posizionati immediatamente sopra (ruotati
rispettivamente di 60 gradi in un senso e nell'altro senso).
[0].), essendo tutto costruito con riferimento agli aggregati
di vari livelli corrispondenti al Mistico.
Conosciamo tassellazioni con simmetria rotazionale di angolo 180 o 120, ma non con angoli minori, che
sarebbero probabilmente più semplici da costruire.
Esistono però tassellazioni con simmetria rotazionale di 60 gradi con un vuoto centrale, una di queste
prevede il riempimento dell'esterno della corona ottenuta posizionando sei spettri nella seguente
configurazione:
Questo ha lo stesso effetto di aggiungere via via corone di aggregati mistico di livello crescente.
