Cinque monete e due pesate
Questa parte ` sostanzialmente un dejavu... comunque vediamo:
Non sappiamo se la moneta falsa pesa di più o di meno di una moneta vera.
Quindi abbiamo in tutto 10 possibili situazioni, che possiamo ora chiamare:
\[
A^+ , A^- ,
B^+ , B^- ,
C^+ , C^- ,
D^+ , D^- ,
E^+ , E^- ,
\]
dove, come nel caso di quattrodici monete abbiamo contrassegnato le monete
con lettere dell'alfabeto.
Ragionando come nel caso precedente dovremo lasciar fuori dalla pesata due monete,
diciamo la \( D \) e la \( E \) (che producono 4 situazioni in
caso di equilibrio di questa pesata).
La prima pesata (di due)
I tre esiti della prima pesata devono partizionare l'insieme delle
10 situazioni in 4 + 3 + 3.
Dove l'insieme di 4 situazioni deve corrispondere alla pesata in equilibrio (altrimenti
automaticamente saprei il peso della moneta falsa) e la moneta falsa in questo
caso è una delle due escluse dalla pesata
(diciamo \( D \) ed \( E \)).
Il caso
L'esito in equilibrio di questa pesata mi lascia quindi con le possibili situazioni:
\[
D^+, D^-,
E^+, E^-
\]
e per trovare la moneta falsa basta pesare, ad esempio, \( D \) contro una delle monete
sicuramente vere, ad esempio la \( A \).
Organizziamo la pesata
Le restanti 3 monete dovranno essere suddivise in due gruppi; facendo uso di una
moneta sicuramente vera (che chiamiamo \( X \)).
Ad esempio pesiamo
\[ A, B \]
contro
\[ C, X . \]
La pesata ha tre possibili esiti: Il primo gruppo pesa di più, pesa di
meno oppure i due gruppi hanno lo stesso peso (e allora la moneta falsa è una delle
2 messe da parte).
Il caso
(il caso
è del tutto analogo)
Rimaniamo con le seguenti possibili situazioni (se la moneta falsa
sta sul piatto di sinistra sarà più pesante, se sta sul
piatto di destra sarà più leggera):
\[
A^+,
B^+,
C^-
\]
Abbiamo 3 situazioni e 1 pesata a disposizione, ma ci troviamo nella
oramai ben nota situazione ++-
Cosa abbiamo lasciato indietro? Nulla: il caso di pesata in
equilibrio è stato già considerato.
In conclusione
Abbiamo concluso la costruzione della strategia.
Ricapitolando:
- Siamo in grado di individuare una moneta falsa tra 14 (senza sapere se pesa di
più o di meno);
- Non sempre siamo in grado di dire se la moneta falsa pesa di
più o di meno;
- Abbiamo bisogno di disporre di una moneta extra (che nella versione originale
del problema, con dodici monete, non era menzionata).
Una piccola ma interessante variante
è possibile nel caso si disponesse di tre monete vere extra.
E ora riprendiamo finalmente il problema iniziale con dodici monete
[continua]
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