Quattordici monete e tre pesate
Non sappiamo se la moneta falsa pesa di più o di meno di una moneta vera.
Quindi abbiamo in tutto 28 possibili situazioni, che chiameremo:
\[
A^+ , A^- ,
B^+ , B^- ,
C^+ , C^- ,
D^+ , D^- ,
E^+ , E^- ,
F^+ , F^- ,
G^+ , G^- ,
H^+ , H^- ,
I^+ , I^- ,
J^+ , J^- ,
K^+ , K^- ,
L^+ , L^- ,
M^+ , M^- ,
N^+ , N^-
\]
dove abbiamo contrassegnato le monete con lettere dell'alfabeto e il + o il - in
alto indica che se la moneta fosse falsa peserebbe di più o di meno rispettivamente.
In tutto ci sono 28 situazioni diverse: non c'è speranza di risolvere il problema
con solo tre pesate, essendo \( 28 \gt 3^3 \)
[vedi qui].
Ragioniamo un po'
Se facciamo tre pesate possono succedere due cose:
- Tutte le pesate sono in pareggio!
In questo caso evidentemente non ho mai pesato la moneta falsa e non c'è
quindi speranza di sapere se la falsa pesa di più o di meno;
- Una pesata non è in pareggio.
In uno dei due piatti di quella pesata c'è la moneta falsa!
Se alla fine riesco ad individuare la moneta falsa, allora automaticamente
avrò anche l'informazione se pesa di più o di meno.
C'è ancora speranza: se viene richiesto di individuare la moneta
falsa ma non è richiesto di dire se è più pesante o meno
pesante delle altre, allora le situazioni da discriminare diventano 27 !
Infatti in caso di tre pesate in equilibrio (un esito su 27) avremo (forse) individuato
la moneta falsa; in tutti gli altri casi sapremo automaticamente anche il suo peso.
Per capirci, se tutte le pesate sono in equilibrio e l'unica moneta che non ho mai
pesato è la \( N \), allora ho individuato le due situazioni
\( \{N^+, N^-\} \) e posso dire che la moneta falsa è la \( N \).
La strategia
Ma siamo proprio al pelo: se esistesse una strategia funzionante, non è
ora difficile individuarla!
[Continua...]